Enunciado

Encontre a derivada da função.

g ( x ) = (d)/(d x) (2 r a^(r x) + n)^p

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

g ( x ) = (d)/(d x) (2 r a^(r x) + n)^p

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Obs: r , a , n e p não são variáveis, e sim constantes.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia fazendo u = 2 r a^(r x) + n , temos:

g^' (x) = (d)/(d u) (u^p) * (d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) :.

g^' (x) = p u^(p - 1) * (d)/(d x) (2 r a^(r x) + n)

Substituindo u , temos:

g^' (x) = p (2 r a^(r x) + n)^(p - 1) * (d)/(d x) (2 r a^(r x) + n)

Agora vamos resolver a derivada que sobrou e vamos chama-la de f^' (x) .

Passo 3

Aplicando a regra da soma de derivadas, temos:

(d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) = (d)/(d x) (2 r a^(r x)) + (d)/(d x) (n)

Como n é constante, então:

(d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) = (d)/(d x) (2 r a^(r x)) + 0 :.

(d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) = (d)/(d x) (2 r a^(r x))

Passo 4

Sabemos que

(a^x)^' = a^x ln (a)

Assim, aplicando na derivada que nos restou, temos:

(d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) = (d)/(d x) (2 r a^(r x)) :.

(d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) = 2 r a^(r x) (ln a) r

Logo, aplicando em g^' (x) , temos:

g^' (x) = p (2 r a^(r x) + n)^(p - 1) * (d)/(d x) (2 r a^(r x) + n) :.

g^' (x) = p (2 r a^(r x) + n)^(p - 1) * [2 r a^(r x) (ln a) r] :.

g^' (x) = 2 r^2 p (ln a) (2 r a^(r x) + n)^(p - 1) a^(r x)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

g^' (x) = 2 r^2 p (ln a) (2 r a^(r x) + n)^(p - 1) a^(r x)

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