Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x)))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

y = sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x)))

Aqui vamos usar a regra da cadeia, que �� dada da seguinte forma:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Mas primeiro vamos dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

y = (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^((1)/(2))

Passo 2

Vamos agora de fato calcular y ' , como temos muitas funções dentro de funções vamos fazer por partes, separadinho, vamos lá:

y^' = (1)/(2) (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^((1)/(2) - 1) . (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^' :.

y^' = (1)/(2) (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^'

Passo 3

Agora vamos usar a regra da cadeia novamente, além de usar a regra do polinômio

(x^n)^' = n x^(n - 1)

para calcular a derivada:

(x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^' = x^(1 - 1) + (1)/(2) (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2) - 1) . (x + x^((1)/(2)))^' :.

(x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^' = x^0 + (1)/(2) (x + x^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (x + x^((1)/(2)))^' :.

(x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^' = 1 + (1)/(2) (x + x^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (x + x^((1)/(2)))^'

Passo 4

Agora a última, usando as mesmas regras que o passo anterior:

(x + x^((1)/(2)))^' = x^(1 - 1) + (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) :.

(x + x^((1)/(2)))^' = x^0 + (1)/(2) x^(- (1)/(2)) :.

(x + x^((1)/(2)))^' = 1 + (1)/(2) x^(- (1)/(2))

Passo 5

Por último é só substituir tudo de volta, vamos lá:

y^' = (1)/(2) (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^' :.

y^' = (1)/(2) (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (1 + (1)/(2) (x + x^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (x + x^((1)/(2)))^') :.

y^' = (1)/(2) (x + (x + x^((1)/(2)))^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (1 + (1)/(2) (x + x^((1)/(2)))^(- (1)/(2)) . (1 + (1)/(2) x^(- (1)/(2))))

Vamos simplificar um pouco isso:

y^' = (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x)))) . (1 + (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x))) . (1 + (1)/(2 sqrt(x))))

Resposta

y^' = (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x)))) . (1 + (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x))) . (1 + (1)/(2 sqrt(x))))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada. x = ln ⁡ t 2 + 3 t + 9
Determine a derivada. y = sen ⁡ cos ⁡ x
18. AcheD t ³ ( 4 t + 1 ) ³
20 .A c h ef 4 xs ef x = 2 x - 1
Ache D 3 x ( x 4 - 2 x 2 + x - 5 )