Determine a derivada.

x = ln(t^2 + 3t + 9)

Passo 1

Vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma função logarítmica natural, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

x ' = d x d t = d x d u ⋅ d u d t

Onde u = h t .

Passo 2

Temos que h t é a função mais de dentro e x = g t a função mais de fora:

u = h t = t 2 + 3 t + 9

Assim:

x = g t = ln ⁡ u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função logarítmica natural, da função constante e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

x ' = d x d t = d x d u ⋅ d u d t = d d u ln ⁡ u ⋅ d d t t 2 + 3 t + 9 = 1 u ⋅ u ' ⋅ 2 t 2 - 1 + 3 t 1 - 1 + 0 = 1 u ⋅ u 1 - 1 ⋅ 2 t + 3 t 0 = 1 u ⋅ u 0 ⋅ 2 t + 3 ⋅ 1 = 1 u ⋅ 1 ⋅ 2 t + 3 = 2 t + 3 u

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

x ' = 2 t + 3 u = 2 t + 3 t 2 + 3 t + 9

Resposta

x ' = 2 t + 3 t 2 + 3 t + 9

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