Enunciado

Encontre o polinômio de Taylor da função f   centradas no número a . Faça o gráfico de f e T 3 na mesma tela.

f x = 1 x   ,     a = 2

Passo 1

A série de Taylor é dada por:

f x =   ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Os polinômios então são dados pela linearização da função (palavra complicada né?), que é assim:

T 1 x = f a + f ' a ( x - a )

Se aplicarmos a função f ( x ) até n = 3 (porque tá pedindo T 3 ),a gente vai, no caso, derivando a função e aplicando o valor de a pra achar f n ( a ) .

Aí depois a gente aplica na série e acha o polinômio...

Passo 2

Vamos montar uma tabelinha pra ficar mais organizado...

Passo 3

Agora é só jogar esses valores na série para acharmos o polinômio...

T 3 x =   ∑ n = 0 3 f n 2 n ! x - 2 n

= 1 2 0 !   x - 2 0 - 1 4 1 ! x - 2 1 + 1 4 2 ! x - 2 2 - 3 8 3 ! x - 2 3

= 1 2 - 1 4 x - 2 + 1 8 x - 2 2 - 1 16 x - 2 3

Esse é o polinômio T 3 , vamos esboçar os gráficos agora...

Passo 4

E... fim🙏

Resposta

1 2 - 1 4 x - 2 + 1 8 x - 2 2 - 1 16 x - 2 3

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