Enunciado

Suponha que underset(X -> P)(lim) F ( X ) = L , c o m L != 0 . Prove que existe r > 0 tal que:

0 < ||X - P|| < r -> ||F (X)|| > (||L||)/(2)

Passo 1

Aqui vamos usar o resultado da desigualdade triangular, que é o seguinte:

||u - v|| >= ||v|| - ||u||

Vamos para o nosso caso agora:

underset(X -> P)(lim) F ( X ) = L

Tomando-se epsilon = (||L||)/(2) , existe r > 0 tal que AA X no domínio de F , temos:

0 < ||X - P|| < r -> ||F (X) - L|| < (||L||)/(2)

Passo 2

Usando a desigualdade triangular agora:

||F (X) - L|| >= ||L|| - ||F (X)||

Daí, e da relação ||F (X) - L|| < (||L||)/(2) , resulta:

||L|| - ||F (X)|| < (||L||)/(2)

Juntando esses L agora:

- ||F (X)|| < (||L||)/(2) - ||L||

- ||F (X)|| < - (||L||)/(2)

||F (X)|| < (||L||)/(2)

Sendo assim, provamos que existe r > 0 tal que

0 < ||X - P|| < r -> ||F (X)|| > (||L||)/(2)

Como a questão pedia😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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