Determine a derivada.

l) y = e^(-3x) + ln(arctg x)

Passo 1

Essa é mais tranquila! Não tem regra do produto nem do quociente, então a única coisa que vamos ter que nos preocupar é com a regra da cadeia de cada termo. Bom, vamos por partes. A derivada da exponencial vai ser:

e f x ' = e f x f ' x

E assim, na nossa questão:

e - 3 x = e - 3 x - 3 x ' = - 3 e - 3 x

Beleza, o outro termo é um pouquinho mais complicado, mas não tem problema. A derivada de l n é assim:

ln ⁡ f x ' = 1 f x f ' x

Então o nosso caso vai ficar:

ln ⁡ a r c t g x ' = 1 a r c t g x a r c t g x '

E essa derivada de a r c t g x já estamos cansados de saber!

ln ⁡ a r c t g x ' = 1 a r c t g x 1 1 + x 2

Passo 2

Show de bola, juntando tudo vai ficar assim, ó:

y = e - 3 x + ln ⁡ a r c   t g   x

Derivando:

d y d x = - 3 e - 3 x + 1 a r c t g x 1 1 + x 2

Pô, essa foi muito rápida! Bora pra próxima!

Resposta

d y d x = - 3 e - 3 x + 1 a r c t g x 1 1 + x 2

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