Enunciado

Determine a derivada.

e) y = 3 a r c t g (2 x + 3)

Passo 1

Beleza, pessoal? Nessa questão aqui nós vamos usar a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções: tem a função a r c t g composta com a função polinomial 2 x + 3 . Pra resolver isso, nós precisamos saber como que faz a derivada de a r c t g ( x ) . Nós já vimos isso lá na letra a dessa mesma questão, mas vamos repetir a demonstração aqui!

Pela notação de Leibniz , temos que:

(d y)/(d x) = (1)/((d x)/(d y))

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g x

Ou seja,

x = t g y

Logo,

(a r c t g x)^' = (1)/((t g y)^') = (1)/(sec^2 y)

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n^2 y + cos^2 y = 1

Dividindo por cos^2 y :

t g^2 y + 1 = sec^2 y

E então, substituindo:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y)

E nós vimos que t g y = x , portanto:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y) = (1)/(1 + x^2)

Passo 2

Beleza, já sabemos a expressão da derivada de a r c t g , e então é só terminar usando a regra da cadeia!

(d y)/(d x) = 3 [a r c t g (2 x + 3)]^'

(d y)/(d x) = 3 [(1)/(1 + (2 x + 3)^2)] (2 x + 3)^'

Desenvolvendo:

(d y)/(d x) = 3 [(1)/(1 + (2 x + 3)^2)] (2 + 0)

Arrumando a casa, vamos obter:

(d y)/(d x) = (6)/(1 + (2 x + 3)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (6)/(1 + (2 x + 3)^2)

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