Determine a derivada.

e) y = 3 \* arctg(2x + 3)

Passo 1

Beleza, pessoal? Nessa questão aqui nós vamos usar a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções: tem a função a r c t g composta com a função polinomial 2 x + 3 . Pra resolver isso, nós precisamos saber como que faz a derivada de a r c t g ( x ) . Nós já vimos isso lá na letra a dessa mesma questão, mas vamos repetir a demonstração aqui!

Pela notação de Leibniz , temos que:

d y d x = 1 d x d y

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g   x

Ou seja,

x = t g   y

Logo,

a r c t g x ' = 1 t g y ' = 1 sec 2 ⁡ y

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n 2 y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ y :

t g 2 y + 1 = sec 2 ⁡ y

E então, substituindo:

a r c t g x ' = 1 1 + t g 2 y

E nós vimos que t g y = x , portanto:

a r c t g x ' = 1 1 + t g 2 y = 1 1 + x 2

Passo 2

Beleza, já sabemos a expressão da derivada de a r c t g , e então é só terminar usando a regra da cadeia!

d y d x = 3 a r c t g 2 x + 3 '

d y d x = 3 1 1 + 2 x + 3 2 2 x + 3 '

Desenvolvendo:

d y d x = 3 1 1 + 2 x + 3 2 2 + 0

Arrumando a casa, vamos obter:

d y d x = 6 1 + 2 x + 3 2

Resposta

d y d x = 6 1 + 2 x + 3 2

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