Determine as derivadas das funções

y = raiz(3 - t)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( t ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( t ) tais que:

h t = f ∘ g t = f g t

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d t , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d t = h ' t = f ' g t ⋅ g ' ( t )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( t ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( t ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( t ) . Vejamos a nossa função dada:

y = 3 - t

O termo “mais interno” é 3 - t . Se fizermos u = g t = 3 - t e substituirmos na função acima, obtemos:

y = u = u 1 / 2

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f u = u 1 / 2  

g t = 3 - t

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d y / d t . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' u = u 1 / 2 '

y ' = 1 2 u - 1 / 2 = 1 2 u

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( t ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' t = 3 - t '

g ' t = - 1

Passo 5

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( t ) , isto é, obter f ' g t . Para isto, basta substituir g t = 3 - t em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g t = f ' 3 - t = 1 2 3 - t

f ' g t = 1 2 3 - t

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f ' g t por g ' ( t ) para obtermos a derivada d y / d t . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d y d t = 1 2 3 - t ⋅ - 1

Resposta

d y d t = - 1 2 3 - t

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