Determine as derivadas das funções

y = x^2 \* sen^4(x) + x \* cos^(-2)(x)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h r = f ∘ g r = f g r

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d r = h ' r = f ' g r ⋅ g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos derivar a nossa função. Aplicando a regra do produto, temos:

y ' = [ x 2 ⋅ s e n 4 ( x ) + x cos - 2 ⁡ x ] '

y ' = 2 x ⋅ s e n 4 x + x 2 ⋅ s e n 4 x ' + cos - 2 ⁡ x + x ⋅ [ cos - 2 ⁡ x ] '

Passo 3

Temos que descobrir quais as derivadas das funções s e n 4 x e cos - 2 ⁡ x . Aplicando a regra da cadeia para a função s e n 4 x , obtemos:

s e n 4 x ' = 4 ⋅ s e n 3 x ⋅ [ s e n ( x ) ] '

s e n 4 x ' = 4 ⋅ s e n 3 x ⋅ c o s ⁡ ( x )

Já para a função cos - 2 ⁡ x , temos:

cos - 2 ⁡ x ' = - 2 ⋅ cos - 3 ⁡ x ⋅ [ cos ⁡ x ] '

cos - 2 ⁡ x ' = - 2 ⋅ cos - 3 ⁡ x ⋅ - s e n ( x )

cos - 2 ⁡ x ' = 2 ⋅ cos - 3 ⁡ x ⋅ s e n ( x )

Passo 4

Substituindo as derivadas do Passo anterior na equação do Passo 2, temos:

y ' = 2 x ⋅ s e n 4 x + x 2 ⋅ ( 4 ⋅ s e n 3 x ⋅ c o s ⁡ ( x ) ) + cos - 2 ⁡ x + x ⋅ 2 ⋅ cos - 3 ⁡ x ⋅ s e n x

y ' = 4 x 2 s e n 3 x cos ⁡ x + 2 x s e n 4 x + 2 x c o s - 3 x s e n x + cos - 2 ⁡ x

Resposta

y ' = 4 x 2 s e n 3 x cos ⁡ x + 2 x s e n 4 x + 2 x c o s - 3 x s e n x + cos - 2 ⁡ x

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