Determine as derivadas das funções

s = sen(3\*pi\*t/2) + cos(3\*pi\*t/2)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h r = f ∘ g r = f g r

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d r = h ' r = f ' g r ⋅ g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos analisar primeiramente a derivada da função s e n ( 3 π t 2 ) . Se fizermos u = 3 π t 2 , temos:

d u d t = 3 π 2

Derivando s e n ( u ) , teremos:

s e n u ' = cos ⁡ u ⋅ u ' = cos ⁡ u ⋅ 3 π 2 = 3 π 2 ⋅ cos ⁡ 3 π t 2

Portanto,

s e n 3 π 2 ' = 3 π 2 ⋅ cos ⁡ 3 π t 2

Passo 3

Vamos repetir o procedimento para a função c o s ⁡ ( 3 π t 2 ) . Se fizermos u = 3 π t 2 , temos:

d u d t = 3 π 2

Derivando cos ⁡ u , teremos:

cos ⁡ u ' = - s e n   u ⋅ u ' = - s e n   u ⋅ 3 π 2 = - 3 π 2 ⋅ s e n   3 π t 2

Portanto,

cos ⁡ 3 π t 2 ' = - 3 π 2 ⋅ s e n   3 π t 2

Passo 4

Portanto, a derivada da função s é:

s ' = 3 π 2 cos ⁡ 3 π t 2 - 3 π 2 s e n   3 π t 2

Resposta

s ' = 3 π 2 cos ⁡ 3 π t 2 - 3 π 2 s e n   3 π t 2

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