Determine as derivadas das funções

s = 4/(3pi) \* sen(3t) + 4/(5pi) \* cos(5t)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h r = f ∘ g r = f g r

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d r = h ' r = f ' g r ⋅ g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos analisar primeiramente a derivada da função s e n ( 3 t ) . Se fizermos u = 3 t , temos:

d u d t = 3

Derivando s e n ( u ) , teremos:

s e n u ' = cos ⁡ u ⋅ u ' = cos ⁡ u ⋅ 3 = 3 ⋅ cos ⁡ 3 t

Portanto,

4 3 π s e n 3 t ' = 4 3 π ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 3 t = 4 π c o s ⁡ ( 3 t )

Passo 3

Vamos repetir o procedimento para a função c o s ⁡ ( 5 t ) . Se fizermos u = 5 t , temos:

d u d t = 5

Derivando cos ⁡ u , teremos:

cos ⁡ u ' = - s e n   u ⋅ u ' = - s e n   u ⋅ 5 = - 5 ⋅ s e n   ( 5 t )

Portanto,

4 5 π cos ⁡ 5 t ' = 4 5 π ⋅ - 5 ⋅ s e n   5 t = - 4 π s e n   ( 5 t )

Passo 4

Portanto, a derivada da função s é:

s ' = 4 π c o s ⁡ ( 3 t ) - 4 π s e n   ( 5 t )

Resposta

s ' = 4 π c o s ⁡ ( 3 t ) - 4 π s e n   ( 5 t )

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