Enunciado

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8. Determine as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída de modo que sua area seja 36   m 2

Passo 1

Temos uma caixa aberta como indica a figura abaixo

Queremos que tenha o maior volume tendo uma área lateral fixa. Logo podemos montar as seguintes equações

A = 2 a c + 2 b c + a b = 36

V = a b c

Passo 2

O que faremos é calcular o gradiente dessas duas funções

∇   V = b c ,   a c ,   a b

∇ A = 2 c + b   ,   2 c + a ,   2 a + 2 b

Agora vamos montar o sistema de Lagrange

2 c + b = b c λ

  2 c + a = a c λ

2 a + 2 b = a b λ  

2 a c + 2 b c + a b = 36

O truque é deixar as três primeiras equações com o lado direito igual

2 c + b a = a b c λ

  2 c + a b = a b c λ

( 2 a + 2 b ) c = a b c λ  

2 a c + 2 b c + a b = 36

Com isso nosso sistema fica

2 c a + b a = a b c λ

  2 c b + b a = a b c λ

2 c a + 2 b c = a b c λ  

2 a c + 2 b c + a b = 36

Fazendo I – II obtemos

2 c a - 2 c b = 0

c   a - b = 0

Entao

c = 0 ou   a = b

Esse tipo de questão vamos ter muitas respostas iguais a essa. Vamos achando condições pro sistema existir. Como c = 0 faria nosso volume ser nulo, logo a resposta é

a = b

Agora vamos fazer II – III

b a - 2 b c = 0

Usando o que descobrimos da relação entre a e b, nossa equação se resume em

b 2 - 2 b c = 0

b   b - 2 c = 0

então podemos concluir que

a = b = 2 c

Passo 3

Vamos usar tudo isso e aplicar na equação IV

2 a c + 2 b c + a b = 36

4 c 2 + 4 c 2 + 4 c 2 = 36

c = 3

Por isso

a = b = 2 3  

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

c = 3

a = b = 2 3  

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