Enunciado

Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

g t = 1 + 3 - t

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar o domínio e a imagem de funções compostas que envolvem funções exponenciais. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de t que satisfazem a nossa f ( t ) . Isto é, faz com que f ( t ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( t ) , para cada valor de t .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar f ( t ) e h ( t ) tais que:

g t = f ∘ h t = f h t

O domínio da nossa g ( t ) será todos os valores de t pertencentes ao domínio da função h tais que, a imagem associada h ( t ) pertencem ao domínio da função f . É por isto que precisamos determinar cada uma das funções. Vamos então para a questão.

Passo 2

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções f e h . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a h . Analisando a nossa g ( t ) , podemos ver que:

h t = 3 - t

Consequentemente, se fazemos t = h t = 3 - t , vamos obter a nossa f ( t ) que é:

f t = 1 + t

Passo 3

Agora que obtivemos as funções f e h , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função h t é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais D h = R e a sua imagem é o intervalo ( 0 , ∞ ).

Já a função f ( t ) é uma função raiz. Desta forma, ela só existirá quando os valores de dentro da raiz forem maiores ou iguais a zero. Isto é:

1 + t ≥ 0

t ≥ - 1

Portanto, o domínio da função f é: D f = x   ϵ   R     t ≥ - 1 } . Já sua imagem pertence ao intervalo ( 0 , ∞ ) .

Passo 4

Pela definição descrita no Passo 1, como toda a imagem da função h está contida no domínio da função f , o domínio da função g t = f ∘ h t = f h t será o domínio da função h ( t ) , isto é:

D g = R

Passo 5

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. Uma função raiz é uma função crescente, que tem como menor valor 0 e vai até o infinito. Desta forma, o menor valor de g ( t ) acontecerá quando h t = 0 , isto é:

g 0 = f 0 = 1 = 1

À medida que h t → ∞ , g t → ∞ . Portanto, a imagem da função g ( t ) é o intervalo ( 1 , ∞ ) .

Resposta

  • Domínio: D g = R  
  • Imagem: ( 1 , ∞ )
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