Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

h x = x 2 - 5 x + 6

Passo 1

Vamos determinar uma técnica para determinar o domínio e a imagem dessa função. Lembra de como fatoramos os polinômios do 2º grau nos últimos exercícios? Vamos usar a mesma lógica! Lembre-se que:

x 2 + b x + c = x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2   são as raízes do polinômio.

Vamos nos aproveitar do fato de que precisamos que o que está dentro da raiz seja positivo ou 0 , e também sabemos que para uma multiplicação entre 2 números ser positiva, precisamos que os dois tenham o mesmo sinal. Ou seja:

x - x 1 ≥ 0       e       x - x 2 ≥ 0 ,       l o g o       x - x 1 x - x 2 ≥ 0

Se os dois forem negativos, o produto também vai ser positivo como precisamos:

x - x 1 ≤ 0       e       x - x 2 ≤ 0 ,       l o g o       x - x 1 x - x 2 ≥ 0

Então só vamos considerar esses dois casos. Os casos para os quais x - x 1   e   ( x - x 2 ) têm sinais diferentes serão desconsiderados, já que isso não satisfaria a condição da raiz. Repare que os nossos intervalos de análise são fechados, pois o argumento da raiz também pode ser 0 .

Passo 2

A equação do 2º grau que queremos determinar as raízes é:

x 2 - 5 x + 6

Por bhaskara:

x 1,2 = 5 ± 25 - 4 ∙ 6 2

x 1,2 = 5 ± 1 2

E daí temos nossas duas raízes:

x 1 = 3

E

x 2 = 2

Passo 3

Então podemos reescrever a função:

h x = x 2 - 5 x + 6

como:

h x = x - 3 x - 2

E agora vamos fazer aquelas duas condições para encontrar o nosso domínio. Começando com ambos os termos positivos:

x - 3 ≥ 0       e       x - 2 ≥ 0

Para satisfazer as duas proposições precisamos que:

x ≥ 3

Daí já temos que [ 3 ,   + ∞ ) faz parte do nosso domínio.

Agora vamos considerar o outro caso:

x - 3 ≤ 0       e       x - 2 ≤ 0

E para satisfazer as duas condições:

x ≤ 2

Agora vamos unir esse intervalo ao outro e teremos o nosso domínio!

- ∞ ,   2 ∪ 3 ,   + ∞

Passo 4

A imagem será para todos os positivos, como se fosse uma simples função x .

Passo 5

A partir dos pontos da nossa imagem e do nosso domínio, sabemos a partir de onde a nossa função sobe do eixo x : ( 2 ,   0 ) e 3 ,   0 . Esses serão os mínimos da nossa função. Daí a nossa função vai dar uma subida e depois se estabilizar como uma reta. Isso acontece porque temos uma função quadrática dentro de uma raiz quadrada, que são funções inversas e quando uma função inversa dentro da outra, ficamos com x , que é a uma reta!

Resposta

Domínio: - ∞ ,   - 2 ∪ 3 ,   + ∞

Imagem: 0 ,   + ∞

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