Enunciado

Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente e confirme seu resultado com o gráfico produzido por seu recurso gráfico [Nota: Ajuste seu recurso gráfico para radianos quando se tratar de funções trigonométrica

  1. f x = 3 - x
  2. F x = 4 - x 2
  3. g x = 3 + x
  4. G x = x 3 + 2
  5. h x = 3 s e n   x
  6. H x = s e n x - 2

Passo 1

Vamos la, na letra a )   temos que

3 - x

Como temos uma raiz, precisamos que o que ta dentro dela seja maior ou igual a zero

3 - x ≥ 0

x ≤ 3

Então nosso domínio é

] - ∞ , 3 ]

Agora, para nossa imagem, temos que o menor valor da função é quando x = 3 que a função da zero, então nossa imagem é

[ 0 , + ∞ [

Para letra b , temos

4 - x 2

Como temos uma raiz, precisamos que o que ta dentro dela seja maior ou igual a zero

4 - x 2 ≥ 0

x 2 ≤ 4

x ≤ 2

Isso quer dizer que

x ≤ 2           o u           x ≥ - 2

Entao nosso domínio é

- 2,2

Para nossa imagem, temos que o valor mínimo dela acontece quando x = ± 2 e nossa raiz zera e o valor máximo é quando x = 0 e a raiz é máxima, valendo 2

Então nossa imagem é

[ 0,2 ]

Na letra c temos que

3 + x

E nossa raiz não pode ser negativaa!

x ≥ 0

Entao nosso domínio é

[ 0 , + ∞ [

Agora a nossa imagem a gente vai analisar, o mínimo dessa função é quando o nosso x da zero porque a raiz sempre retorna um valor maior ou igual que zero, e, quando isso acontece, temos que g x = 3 + 0 = 3 e esse é o mínimo da imagem!

[ 3 , + ∞ [

Passo 2

Agora vamos pra letra d

G x = x 3 + 2

Aqui a gente não tem nenhum problema hehe, nenhum mesmo!

Nosso domínio é

] - ∞ , + ∞ [

E a imagem

] - ∞ , + ∞ [

Para letra e ,   temos

h x = 3 s e n x

Show, temos uma função seno, pro nosso domínio isso não tem nenhum problema, pode ser qualquer numero ai dentro, então nosso domínio é:

] - ∞ , + ∞ [

Agora para imagem, temos que o seno varia de - 1 até 1 , maaaas ele é multiplicado por 3 , então nosso y varia de - 3 até 3 , então temos

[ - 3,3 ]  

Agora, para letra f )

H x = s e n x - 2

Quando temos um expoente negativo, é a mesma coisa que

1 s e n x 2

temos 2 coisas

  1. Não podemos ter denominador igual a zero
  2. s e n x ≠ 0

    Isso acontece quando

    x ≠ π 2 k 2

  3. Raiz não pode ser negativa, então

x ≠ 0

temos que o domínio é

x ∈ R |   x ≠ 0   e   x ≠ π 2 k 2  

E a imagem, tem valor mínimo de 1, quando s e n π = 1 e o máximo no infinito

] 1 , + ∞ [

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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