Enunciado

Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente e confirme seu resultado com o gráfico produzido por seu recurso gráfico [Nota: Ajuste seu recurso gráfico para radianos quando se tratar de funções trigonométrica

  1. f x = 1 x - 3
  2. F x = x x
  3. g x = x 2 - 3
  4. G x = x 2 - 2 x + 5
  5. h x = 1 1 - s e n x
  6. H x = x 2 - 4 x - 2

Passo 1

Vamos la, na letra a )   temos que

1 x - 3

Beleza o domínio é todo R tirando x - 3 = 0 , ou seja, x = 3

] - ∞ , 3   ∪ 3 , + ∞ [

A imagem é o próprio R , ou seja

] - ∞ , + ∞ [

Para letra b , temos

x | x |

Pro domínio, o único ponto que não existe é em x = 0

Entao nosso domínio é

] - ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞ [

Jaaa a nossa imagem a gente tem que dar uma analisada ai porque temos um modulo

Para x > 0 → f x = 1

Para x < 0 → f x = - 1

Então, nossa imagem é

- 1,1

Na letra c temos que

x 2 - 3

E nossa raiz não pode ser negativaa!

x 2 - 3 ≥ 0

x ≥ | 3 |

Entao nosso domínio é

] - ∞ ,   - 3 ∪ 3 , + ∞ [

Agora a nossa imagem a gente vai analisar, o mínimo dessa função é quando o nosso modulo da zero porque a raiz sempre retorna um valor maior ou igual que zero, então nossa imagem é

[ 0 , + ∞ [

Passo 2

Agora vamos pra letra d

G x = x 2 - 2 x + 5

Temos de novo um modulo, então vamos precisar que a parte de dentro seja maior ou igual que zero!

x 2 - 2 x + 5 ≥ 0

Fazendo baskara a gente ve que não tem raiz real, então para qualquer valor, como seu a é positivo, é maior do que zero!! B^2-4ac

Dominio é o próprio R

] - ∞ , + ∞ [

Agora para a imagem, a gente vai precisar achar o ponto mínimo dessa função, vamos achar o y do vértice

y v = - Δ 4 a

y v = - 4 - 20 4 ( 1 )

y v = 4

Só que isso é a parte de dentro, então tirando a raiz disso daí, temos que nossa imagem é

[ 2 , + ∞ [

Para letra e ,   temos

h x = 1 1 - s e n x

Temos um denominador, então precisamos que

1 - s e n x ≠ 0

s e n x ≠ 1

Então, como s e n x chega em 1 em vários momentos, precisamos que

x ≠ 4 k π + π 2

Aii a imagem ocorre é o seguinte

A função tem um mínimo, e ele ocorre quando s e n x é máximo, e o valor máximo do seno é 1, então substituindo s e n ( x ) por 1, temos

1 1 + 1 = 1 2

Show, nossa imagem então é

[ 1 2 , + ∞ [  

Agora, para H x = x 2 - 4 x - 2 temos 2 coisas

  1. Não podemos ter denominador igual a zero
  2. x ≠ 2

  3. Raiz não pode ser negativa, podemos escrever x 2 - 4 sendo x - 2 ( x + 2 )

x - 2 x + 2 x - 2

Cortando isso daí, temos

x + 2

x ≥ 2

Juntando essas duas dificuldades, temos que o domínio é

] 2 , + ∞ [

E a imagem, tem valor mínimo de zero e o máximo no infinito

] 0 , + ∞ [

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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