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Determine uma equação da esfera com centro em ( 2 , - 6 , 4 ) e raio 5 . Descreva sua intersecção com cada um dos planos coordenados.

Passo 1

Sabemos que a equação de uma esfera é do tipo x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2 ,   onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro dessa esfera e r é o raio dela.

Como temos uma esfera centrada em em ( 2 , - 6,4 ) e raio 5 , nossa equação fica

( x - 2 ) 2 + y + 6 2 + z - 4 2 = 25

Passo 2

Agora queremos calcular a intersecção dessa esfera com o plano y z , isso acontece quando x = 0 , então basta substituirmos x = 0   na equação que definimos no item (a), assim:

- 2 2 + y + 6 2 + z - 4 2 = 25

y + 6 2 + z - 4 2 = 25 - 4

y + 6 2 + z - 4 2 = 2 1

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção da esfera com o plano x z precisamos fazer y = 0 , então:

( x - 2 ) 2 + 6 2 + z - 4 2 = 25

( x - 2 ) 2 + z - 4 2 = 25 - 36

( x - 2 ) 2 + z - 4 2 = - 11

Passo 4

Por último, para encontrarmos a intersecção da esfera com o plano x y precisamos fazer z = 0 , então:

( x - 2 ) 2 + y + 6 2 + 0 - 4 2 = 25

( x - 2 ) 2 + y + 6 2 = 25 - 1 6

( x - 2 ) 2 + y + 6 2 = 9

Resposta

( x - 2 ) 2 + y + 6 2 + z - 4 2 = 2 5

Intersecção com x y :   ( x - 2 ) 2 + y + 6 2 = 9

Intersecção com x z : ( x - 2 ) 2 + z - 4 2 = - 11

Intersecção com y z : y + 6 2 + z - 4 2 = 21

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