Enunciado

  1. Determine a equação na forma paramétricas da reta obtida pela interseção dos planos

2 x + 5 z - 3 = 0 , x - 3 y + z + 2 = 0

Passo 1

Primeiro devemos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Um reta é comporta por um ponto P e um vetor v → , sendo assim podemos escrever que qualquer ponto ( x , y , z ) da nossa reta é descrito como

x , y , z = P + t v →

Outra coisa importante que devemos lembrar, é que dado um plano descrito como

α x + β y + γ z + d = 0

O vetor normal ao plano é dado pelo gradiente da função, ou seja

∇ α x + β y + γ z + d = ( α , β , γ )

Passo 2

  1. A primeira coisa que queremos saber é quando esses planos se cruzam. Neste momento o cruzamento deles forma uma reta. Desta forma basta tomar um ponto em comum em alguma coordenada e substituir na próxima equação.

π 1 : 2 x + 5 z - 3 = 0 → x = 3 - 5 z 2    

π 2 : x - 3 y + z + 2 = 0 → 3 - 5 z 2   - 3 y + z + 2 = 0

Assim temos

y = - 7 + 3 z 6

Agora vamos tomar z =   0 → x = 3 / 2   e y = - 7 / 6 . Será que este ponto também se encontra em π 2 ?

π 2 : 2 3 / 2 + 0 - 3 = 0

Desta forma temos agora um ponto que consta nos dois planos.

Agora vamos pegar os dois vetores normais ao plano. Tirando o produto vetorial entre eles, vamos obter o vetor diretor da interseção entre os dois planos.

π 1 : v → = ( 2 , 0 , 5 )

π 2 : u → = ( 1 , - 3 , 1 )

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 2 0 5 1 - 3 1 = i ^ 15 + j ^ 3 + k ^ - 6  

Assim nossa reta é dada por

x , y , z = 0,1 , 1 + t ( 15,3 , - 6 )

Resposta

x , y , z = 0,1 , 1 + t ( 15,3 , - 6 )

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