Enunciado

Determine a equação do plano.

O plano que passa pelo ponto   ( 1,5 , 1 ) e é perpendicular aos planos 2 x + y - 2 z = 2 e x + 3 z = 4 .

Passo 1

A equação de um plano é da forma:

a x + b y + c z = d

Onde ( a , b , c ) é vetor normal ao plano.

Vamos ver os vetores dos outros planos que ele deu...

2 , 1 , - 2   e   ( 1,0 , 3 )

Esses vetores são normais aos planos que são perpendiculares ao nosso, então são dois vetores paralelos ao nosso plano. Não podemos usar eles diretamente.

Pra a gente achar um vetor normal a esses dois, podemos fazer o produto vetorial entre eles...

Passo 2

O produto vetorial entre os dois vetores é:

det ⁡ i j k 2 1 - 2 1 0 3 = i 1 - 2 0 3 - j 2 - 2 1 3 + k 2 1 1 0

3 i - 8 j - k

Um vetor normal ao plano então é:

3 , - 8 , - 1

O plano então é da forma:

3 x - 8 y - z = d

Passo 3

Agora é só substituir um ponto nessa equação para achar o d ...

1,5 , 1 → 3 x - 8 y - z = d

3 1 - 8 5 - 1 = d

d = 3 - 40 - 1

d = - 38

Então o plano é:

3 x - 8 y - z = - 38

Prontinho😄

Resposta

3 x - 8 y - z = - 38

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