Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭_E^() e^(z // y) d V

Onde,

E = {(x , y , z) | 0 <= y <= 1 , y <= x <= 1,0 <= z <= x y}

Passo 1

Para podermos resolver a integral tripla, precisamos colocar os limites de integração primeiramente. Como os mesmos já vieram detalhados, temos então:

int_0^1 int_y^1 int_0^(x y) e^(z // y) d z d x d y

Muito cuidado na hora de colocar a ordem! O resultado final deve ser um número!

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável z Portanto,

int_0^1 int_y^1 int_0^(x y) e^(z // y) d z d x d y = int_0^1 int_y^1 (y e^(z // y))_0^(x y) d x d y

int_0^1 int_y^1 (y e^x - y) d x d y

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a x . Logo,

int_0^1 int_y^1 (y e^x - y) d x d y = int_0^1 (y e^x - y x)_y^1 d y

int_0^1 int_y^1 (y e^x - y) d x d y = int_0^1 (y e - y - (y e^y - y^2)) d y

int_0^1 ( - y e^y + y (e - 1) + y^2 ) d y

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a y .

int_0^1 ( - y e^y + y (e - 1) + y^2 ) d y = ((y^3)/(3) - y e^y + e^y + (e - 1)/(2) y^2)_0^1

((1)/(3) - e + e + (e - 1)/(2)) - (0 - 0 + 1 + 0) = (1)/(3) + ((e - 1))/(2) - 1

(1)/(3) + (e)/(2) - (1)/(2) - 1 = (e)/(2) - (7)/(6)

Resposta

∭_E^() e^(z // y) d V = (e)/(2) - (7)/(6)

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Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W zd xd yd x Onde, W é a região no primeiro octante limitada pelos planos y = 0 , z = 0 , x + y = 2 , 2 y + x = 6 e o cilindro y 2 + z 2 = 4 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo. W é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e o parabolóide z = x 2 + y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(b) W é limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e z = x 2 + 3 y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(e) W = x , y , z ∈ R 3 z ≥ 1;x + y + z ≤ 7;x ≥ y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo.(c) W é limitado pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e z = y , está situado no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 , e z ≥ 0 .