Enunciado

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = 〈2 t , t^2 , (1)/(3) t^3〉 , 0 <= t <= 1

Passo 1

Temos que r (t) = 〈2 t , t^2 , (1)/(3) t^3〉 , e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função.

Então, temos que:

r ' (t) = 〈2,2 t , t^2〉

Passo 2

Feito essa passo, precisamos agora calcular |r^' (t)| . Então vamos la!

|r^' ( t )| = sqrt(2^2 + (2 t)^2 + (t^2)^2) = sqrt(4 + 4 t^2 + t^4)

Viu que apareceu um quadrado perfeito? A gente pode reescrever 4 + 4 t^2 + t^4 = (t^2 + 2)^2

Isso nos da que:

|r^' (t)| = sqrt(4 + 4 t^2 + t^4) = sqrt((t^2 + 2)^2) = |2 + t^2|

Como t^2 >= 0 para t real,

|r^' (t)| = 2 + t^2

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

int_a^b |r^' ( t )| d t

Note que nosso intervalor é:

0 <= t <= 1

E que encontramos

|r^' ( t )| = 2 + t^2

Assim,

int_0^1 2 + t^2 d t = (2 t + (1)/(3) t^3|_0^1 = (2 * 1 + (1)/(3) * 1) - (2 * 0 + (1)/(3) * 0^3) = (7)/(3)

Resposta

(7)/(3)

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Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.Determine r ' ( t ) .Desenhe o vetor de posição r ( t ) e o vetor tangente r ' t para o valor dado de t . r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,t = π 4
Utilize a formula 11 para achar a curvatura.y = 4 x^(5 // 2)
Utilize o computador para traçar o gráfico da curva com equações paramétricas x = c o s , y = sen ⁡ 3 t , z = sen ⁡ t . Determine o comprimento total da curva com precisão de quatro casas decimais.
Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento do arco da cubica retorcida x = t , y = t 2 , z = t 3 da origem até o ponto ( 2,4 , 8 ) .
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura k ( x ) . Esse é o gráfico que você esperava? y = x e - x