Enunciado

Determine as equações do movimento se o projétil no Problema 12 encontrar uma força de retardamento k (de magnitude k ) agindo tangencialmente à trajetória mas, oposta ao movimento. Veja a Figura 1.21. [Sugestão: k é um múltiplo da velocidade, digamos c . v .]

Passo 1

O movimento do projétil sem a força de retardamento pode ser representado assim:

Onde v é a velocidade do projétil (tangente à sua trajetória) e m . g é o peso dele.

Mas em situações reais, temos uma força que age também tangencialmente à trajetória mas no sentido contrário ao movimento, assim olha:

Sendo que k é múltiplo de v , já que são paralelos.

Podemos, ainda, formar um triângulo retângulo envolvendo k e v :

Belezinha, agora que já enxergamos o problema, queremos encontrar um sistema de equações diferenciais pro movimento do projétil, vamos lá!

Passo 2

A segunda lei de Newton nos diz que a força é o produto da massa com a aceleração, ou seja:

F = m . a

Vamos aplicar isso na direção x :

F x = m . a x

Galera, mas sabemos que a aceleração é a segunda derivada da posição não é? Então, podemos escrever assim:

F x = m . d 2 x d t ²

Na direção x também temos uma força componente de k , que age em direção contrária à trajetória em x

Sendo que k x = - k . cos ⁡ θ

Então:

m . d 2 x d t ² = - k . cos ⁡ θ

Como temos que k é múltiplo de v , vamos escrever k = | c | . v (colocamos o módulo na constante c , pois caso ela seja negativa, isso mudaria o sentido de k , o que não tem sentido físico):

m . d 2 x d t ² = - | c | . v . cos ⁡ θ

Mas temos que v . cos ⁡ θ é a componente da velocidade na direção x :

m . d 2 x d t ² = - | c | . v x

Como a velocidade é a derivada da posição:

m . d 2 x d t ² = - | c | . d x d t

Passo 3

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção y :

F y = m . a y

Lembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição:

F y = m . d 2 y d t 2

A força peso na direção y aponta pra baixo e tem valor m . g ., então:

m . d 2 y d t 2 = - m . g

Na direção y também temos uma força componente de k :

Sendo que k y = - k . sen ⁡ θ

Então:

m . d 2 y d t 2 = - m . g - k . s e n   θ

Vamos escrever k = c . v :

m . d 2 y d t 2 = - m . g - c . v . s e n   θ

Mas v . s e n   θ é a componente da velocidade na direção y :

m . d 2 y d t 2 = - m . g - c . v y

Como a velocidade é a derivada da posição:

m . d 2 y d t 2 = - m . g - c . d y d t

Então, as equações que formam o sistema para o movimento do projétil com força de retardamento são:

m . d 2 x d t ² = - | c | . d x d t

m . d 2 y d t 2 = - m . g - c . d y d t

Resposta

m . d 2 x d t ² = - | c | . d x d t

m . d 2 y d t 2 = - m . g - c . d y d t

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