Enunciado

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

x 2 + 3 y 2 + 4 z 2 = 8 ,         e m     ( 1 , - 1,1 )

Passo 1

A questão pede as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada. Para achar essas equações, precisamos do vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta normal.

Vamos fazer o seguinte: tomares a superfície dada como uma superfície de nível da função

f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 4 z 2 - 8

Assim, o vetor gradiente é perpendicular a essa superfície e corresponderá tanto ao vetor normal do plano tangente como ao vetor diretor da reta normal.

Calculando o gradiente neste problema:

∇ f x , y , z = ( 2 x , 6 y , 8 z )

Assim, no ponto em questão, temos que

∇ f   1 , - 1,1 = ( 2 , - 6 ,   8 )

Passo 2

Para a equação do plano, vamos usar

x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 1 ,   y + 1 , z - 1 ⋅ 2 , - 6 ,   8 = 0

Portanto,

2 x - 2 - 6 y - 6 + 8 z - 8 = 0

Logo,

2 x - 6 y + 8 z = 16

Ou ainda,

x - 3 y + 4 z = 8

Passo 3

Já para a reta normal, temos que

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ n →

Portanto,

x , y , z = 1 , - 1,1 + λ 2 , - 6 ,   8

Resposta

x - 3 y + 4 z = 8

x , y , z = 1 , - 1,1 + λ 2 , - 6 ,   8

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