Determine (dr) / (d theta) nos Exercícios 17-20.

20. cos(r) + cotg(theta) = e^(r\*theta)

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a θ , considerando r como uma função derivável de θ ;

2. Agrupar os termos que possuem d r d θ em um lado da equação e isolar d r d θ .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1 na equação, teremos:

- s e n r . d r d θ - c o s s e c 2 θ = e r θ . ln ⁡ e . ( r θ ) '

Lembrando que c o t g θ ' = - c o s s e c ² ( θ ) . Ademais, para derivarmos essa multiplicação de funções que surgiu, devemos nos lembrar da regra do produto, que nos diz o seguinte:

f . g ' = f ' . g + f . g '

r θ ' = d r d θ . θ + r

Substituindo na equação derivada, teremos:

- s e n r . d r d θ - c o s s e c 2 θ = e r θ . d r d θ . θ + r

Passo 3

Agora que derivamos ambos os lados, nos resta aplicar o passo 2, isto é, isolar a derivada que encontramos. Fazendo isso, teremos:

- s e n r . d r d θ - c o s s e c 2 θ = e r θ . d r d θ . θ + e r θ . r

- s e n r . d r d θ - e r θ . d r d θ . θ = e r θ . r + c o s s e c 2 θ

d r d θ . - s e n r - e r θ . θ = e r θ . r + c o s s e c 2 θ

∴ d r d θ = - e r θ . r + c o s s e c 2 θ s e n r + e r θ . θ

Resposta

d r d θ = - e r θ . r + c o s s e c 2 θ s e n r + e r θ . θ

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