Enunciado

27. Se x^3 + y^3 = 16 , determine o valor de (d ² y)/(d x ²) no ponto (2,2).

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem (d y)/(d x) em um lado da equação e isolar (d y)/(d x) .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Derivando ambos os membros da equação, teremos:

3 x^2 + 3 y^2 . (d y)/(d x) = 0

Agora aplicando o passo 2, teremos:

3 y^2 . (d y)/(d x) = - 3 x ²

:. (d y)/(d x) = - (x ²)/(y ²)

Passo 3

Derivando novamente para descobrirmos a derivada segunda, teremos:

(d ² y)/(d x ²) = (- (x^2)/(y^2))^'

Como temos uma divisão, teremos que utilizar a regra do quociente para a derivação, ok? Utilizando a regra, teremos:

(d ² y)/(d x ²) = - ((2 x . y^2 - x^2 . 2 y . (d y)/(d x)))/(y^4)

Mas como já calculamos (d y)/(d x) , então substituindo, teremos:

(d ² y)/(d x ²) = - ((2 x . y^2 - x^2 . 2 y . (- (x^2)/(y^2))))/(y^4)

:. (d ² y)/(d x ²) = - ((2 x . y^2 + (2 x^4)/(y)))/(y^4) = - (( 2 x y^3 + 2 x^4 ))/(y^5)

Passo 4

Agora que já derivamos completamente, basta substituirmos o ponto que nos foi dado, que é ( 2,2 ) . Aplicando, teremos:

(d ² y)/(d x ²) = - ((2.2 . 2^3 + 2 . 2^4))/(2^5) = - (2 . 2^5)/(2^5) = - 2

Resposta

(d ² y)/(d x ²) = - 2 e m ( 2,2 )

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Determine uma função y = f x que seja dada implicitamente pela equação x y 2 + y + x = 1
A função y = f x é dada implicitamente pela equação x y + 3 = 2 x . Mostre que x d y d x = 2 - y . Calcule d y d x x = 2 .
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita
Ache d y d x por derivação implícita