27. Se x^3 + y^3 = 16 , determine o valor de d²y / dx² no ponto (2,2).

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Derivando ambos os membros da equação, teremos:

3 x 2 + 3 y 2 . d y d x = 0

Agora aplicando o passo 2, teremos:

3 y 2 . d y d x = - 3 x ²

∴ d y d x = - x ² y ²

Passo 3

Derivando novamente para descobrirmos a derivada segunda, teremos:

d ² y d x ² = - x 2 y 2 '

Como temos uma divisão, teremos que utilizar a regra do quociente para a derivação, ok? Utilizando a regra, teremos:

d ² y d x ² = - 2 x . y 2 - x 2 . 2 y . d y d x y 4

Mas como já calculamos d y d x , então substituindo, teremos:

d ² y d x ² = - 2 x . y 2 - x 2 . 2 y . - x 2 y 2 y 4

∴ d ² y d x ² = - 2 x . y 2 + 2 x 4 y y 4 = - ( 2 x y 3 + 2 x 4 ) y 5

Passo 4

Agora que já derivamos completamente, basta substituirmos o ponto que nos foi dado, que é ( 2,2 ) . Aplicando, teremos:

d ² y d x ² = - 2.2 . 2 3 + 2 . 2 4 2 5 = - 2 . 2 5 2 5 = - 2

Resposta

d ² y d x ² = - 2   e m   ( 2,2 )

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