Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

70. y = raiz(3t + raiz(2 + raiz(1 - t)))

Passo 1

Essa questão é beeeeem delicada, gente! Teremos que utilizar 3 regras da cadeia para achar o resultado de y ' , beleza? No entanto, se fizermos passo a passo essa derivada sai. Vamos fazer o seguinte: vamos ir derivando pela ordem das raízes, isto é, vamos derivar primeiro a raíz mais externa, depois a do meio e, por fim, a mais interna.

Reescrevendo a função y , teremos:

y = 3 t + 2 + 1 - t 1 2

Passo 2

Utilizando a 1ª regra da cadeia, teremos:

d y d t = 1 2 . 3 t + 2 + 1 - t - 1 2 . 3 t + 2 + 1 - t '

Agora a função que temos que derivar é aquela ali com apóstofro, beleza? Para facilitar, vamos fazer:

g = 3 t + 2 + 1 - t  

Passo 3

Reescrevendo a função g , teremos:

g = 3 t + 2 + 1 - t 1 2

Aplicando a 2ª regra da cadeia:

g ' = 3 + 1 2 . 2 + 1 - t - 1 2 . 2 + 1 - t '

Agora, por fim, a função que temos que derivar é essa aí que está com apóstofro, beleza? Vamos fazer:

h =   2 + 1 - t '

Passo 4

Reescrevendo a função h , teremos:

h = 2 + ( 1 - t ) 1 2

Utilizando a 3ª regra da cadeia, teremos:

h ' =   1 2 . 1 - t - 1 2 . ( 1 - t ) '

∴ h ' = - 1 2 . 1 - t - 1 2  

Passo 5

Agora que descobrimos todas as derivadas, vamos ir colocando nos seus lugares passo a passo, beleza? Se liga!

g ' = 3 + 1 2 . 2 + 1 - t - 1 2 . 2 + 1 - t '

∴ g ' = 3 + 1 2 . 2 + 1 - t - 1 2 . - 1 2 . 1 - t - 1 2

d y d t = 1 2 . 3 t + 2 + 1 - t - 1 2 . 3 t + 2 + 1 - t '

d y d t = 1 2 . 3 t + 2 + 1 - t - 1 2 . 3 + 1 2 . 2 + 1 - t - 1 2 . - 1 2 . 1 - t - 1 2

Fazendo as simplificações, teremos:

d y d t = 1 2 . 1 3 t + 2 + 1 - t   .   3 - 1 4 . 1 2 + 1 - t . 1 - t

∴ d y d t = 12 8 . 2 + 1 - t . 1 - t - 1 3 t + 2 + 1 - t . 2 + 1 - t . 1 - t

Resposta

d y d t = 12 8 . 2 + 1 - t . 1 - t - 1 3 t + 2 + 1 - t . 2 + 1 - t . 1 - t

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