Enunciado

a) Escreva x = x 2 e usa a regra da cadeia para mostrar que

d d x x = x x

b) Se f x = | s e n   x | , encontre f ' ( x ) e esboce os gráficos de f e f ' . Onde f não é derivável?

c) Se g x = s e n   | x | , encontre g ' ( x ) e esboce os gráficos de g e g ' . Onde g não é derivável?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom.. essa é uma questão bem direta ao ponto haha.

Essa é uma questão que trabalha com a diferenciabilidade da função módulo.

Sabemos que a função modular é derivável em toda parte exceto em x = 0 onde apresenta um bico.

No item (a), devemos mostrar uma relação para a derivada do módulo e nos itens (b) e (c) devemos usar essa relação com funções compostas para identificar os pontos em que as funções f e g não são deriváveis.

Para resolver essa questão podemos apenas pegar a definição da regra da cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para resolver o item (a).

Antes disso: x = x 2 = x 2 1 / 2 . Assim, pela regra da cadeia:

d d x x = x 2 1 2 ' ∴

d d x x = 1 2 x 2 - 1 2 ⋅ x 2 ' ∴

d d x x = 1 2 x 2 - 1 2 ⋅ 2 x ∴

d d x x = x x 2 ∴

d d x x = x x

Note que a expressão não está definida para x = 0 : de fato, a função modular não é derivável na origem.

Passo 3

Da regra de composta de funções, a função f x = | s e n   x | será derivável em todos os pontos exceto nos pontos que zerem o módulo.

Isso ocorre para s e n   x = 0 , logo, para x = n π , com n inteiro.

Assim, f é derivável em todos os pontos exceto nos pontos do tipo x = n π , com n ∈ Z .

Agora vamos usar que M x = | x | de modo que f x = M ( s e n   x ) .

Assim, pela regra da cadeia:

f ' x = M ' s e n   x ⋅ s e n   x ' ∴

f ' x = M ' s e n   x ⋅ cos ⁡ x ∴

f ' x = s e n   x s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Passo 4

O gráfico de f é :

Note que a função é periódica e, elém disso, tem bicos em pontos igualmente espaçados (e cujo espaçamento é π ).

Passo 5

O gráfico de f ' é:

Observe que as descontinuidades de f ' ocorrem exatamente nos pontos em que f não é derivável.

Passo 6

Agora temos g x = s e n   | x | de modo que g x = s e n   M x .

Assim, o único valor que pode anular o módulo é x = 0 e, portanto, g é derivável em R - { 0 } .

Pela regra da cadeia:

g ' x = cos ⁡ M x ⋅ M ' x = cos ⁡ x ⋅ x x

Passo 7

O gráfico de g é:

Note que o único bico ocorre em x = 0 .

E o gráfico de g ' é:

Resposta

a) Demonstração.

b) f ' x = s e n   x s e n   x ⋅ cos ⁡ x

c) g ' x = cos ⁡ x ⋅ x x

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