Enunciado

Determine se existe ou não f ' ( 0 ) .

f x = x . s e n 1 x ,     s e   x ≠ 0 x ,     s e   x = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😉

E aí, beleza? Nessa questão aqui vamos usar limites para verificar se a derivada de uma função em determinado ponto existe ou não!

Como descobrimos se a derivada f ' ( 0 ) existe? Nós temos que aplicar a nossa famosa definição de derivada para um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Se esse nosso limite existir para a = 0 , então a nossa derivada f ' ( 0 ) vai existir, sacou? Bora começar a calcular o nosso limite agora:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

Parece complicado? 👀

Passo 2

Perceba que a função que nos é dada tem como domínio todos os valores reais: ela é definida por x   ∙ s e n 1 x para x ≠ 0 e vale 0 para x = 0 .

A partir disso, sabemos já que f 0 = 0 e o nosso

f 0 + h = 0 + h ∙   s e n 1 0 + h

sacou?

Lembre-se: o h e um número muuuuito pequeno, que se aproxima de 0 , mas ele não é 0 , tranquilo? Olha como vai ficar o nosso limite agora:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ 0 + h ∙   s e n 1 0 + h - 0 h

Simplificando o h :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h ∙ s e n 1 h h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ s e n 1 h

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora que já temos uma expressão para o nosso limite, temos que analisá-lo e ver se é possível resolvê-lo.

Conforme h vai se aproximando de 0 , os valores de 1 h vão aumentando, correto? Porque o 1 vai ser dividido por valores cada vez menores de h . Logo, a gente pode falar que o 1 h tende ao infinito, porque ele vai crescer muuuuuito!

Acontece que a função seno é uma função limitada e periódica: seus valores máximos são 1 e - 1 , e ela fica alternando entre esses dois caras. A gente pode ver isso no gráfico abaixo:

Quem vai ser o seno de um número absurdamente grande então? A resposta é: depende.

Sabemos, por exemplo, que

s e n k π = 0

onde esse k aí é um número inteiro (essa propriedade ta relacionada ao círculo trigonométrico, ta bom?). Imagine que k = 1000 , então teríamos que s e n 1000 π = 0 .

Se você pegar a sua calculadora e ver o s e n ( 10000 ) (que é maior que 1000 π ), por exemplo, vai ter um número diferente de 0 . Aí se você pegar o s e n ( 10000 π ) , vai dar 0 de novo. Percebeu que não tem um padrão?

Acontece que quando esse número no argumento da função seno cresce, o valor do seno não tende a um número específico, só fica alternando dentro do intervalo [ - 1 ,   1 ] . Dá uma olhada no gráfico de g x = s e n 1 x como fica (que é a função que apareceu no nosso limite):

Conforme o x vai diminuindo e se aproximando de 0 , a função oscila mais rápido, mas nunca para em um valor fixo, sacou?

Daí a gente conclui que o lim h → 0 ⁡ s e n 1 h não existe e, portanto, determinaos que f ' ( 0 ) não existe!

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

f ' ( 0 ) para a função dada não existe.

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Considere: f x = x 2 ,s ex ≤ 2 m x + b,s ex2 Encontre os valores de m e b que tornem f derivável em toda parte.
a) Para quais valores de x a função f x = x 2 - 9 é derivável? Ache uma formula para f ' b) Esboce os gráficos de f e f ' .
Seja f x = 2 - x , s ex ≤ 1 x 2 - 2 x + 2, s e x1 f é derivável em 1 ? Esboce os gráficos de f e f '
Em quais números a seguinte função g é derivável? g x = - 1 - 2 x,s ex- 1 x 2,s e - 1 ≤ x ≤ 1 x , s e x1 Dê uma fórmula para g ' e esboce os gráficos de g e g '
Onde a função h x = x - 1 + x + 2 é derivável? Dê uma fórmula para h ' e esboce os gráficos de h e h ' .