Enunciado

Determine f x e f y e faça o gráfico de f ,   f x e f y com domínios e pontos de vista que permitam ver a relação entre eles.

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f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y

Passo 1

Fazendo as derivadas parciais em x e em y da função f nós iremos obter:

f x = ∂ ( x 2 + y 2 + x 2 y ) ∂ x = ∂ x 2 ∂ x + ∂ y 2 ∂ x + ∂ x 2 y ∂ x = 2 x + 0 + 2 x y = 2 x + 2 x y  

f y = ∂ ( x 2 + y 2 + x 2 y ) ∂ y = ∂ x 2 ∂ y + ∂ y 2 ∂ y + ∂ x 2 y ∂ y = 0 + 2 y + x 2 = 2 y + x 2

Passo 2

Plotando o gráfico de f ( x , y ) temos:

Agora para o gráfico de f x :

Agora o gráfico de f y :

Onde a reta verde é o eixo y e a reta vermelha o eixo x .

Passo 3

A direção das parábolas formadas no gráfico de f nos eixos x e y são correlacionadas com o crescimento e decrescimento dos gráficos de f x e f y . Exemplo no gráfico de f x vemos uma parábola crescendo na direção do x essa parábola vira uma função do terceiro grau para o crescimento de f na direção do mesmo eixo. Outra coisa legal de notar é pelo gráfico de f y que vemos que esse gráfico corta o plano x y no ponto de y = - 1 e esse ponto é um ponto de mínimo da função f.

Resposta

Passos acima.

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