Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

24-

∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t g   n n

Passo 1

Quando se olha para a função arco tangente dá até um frio na espinha não é verdade? Mas relaxa que há uma esperança de deixar isso mais simples!

Reparou que tanto o numerador quanto o denominador estão elevados a n ? Então... isso nos diz que podemos fazer o teste da raiz:

l i m n → ∞ | a n | n = L

Onde a n será:

a n = - 1 arctg ⁡ n n

Não se esqueça de aplicar o módulo em a n .

Passo 2

Fazendo o teste da raiz nós teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 a t c t g   n

Porém se formos ver o gráfico da arco tangente conseguimos ver que:

Que a medida que n vai para infinito, a função arco tangente se aproxima cada vez mais de π / 2 .

Outra forma de se ver isso é que normalmente dizemos que:

t g π 2 = + ∞

Logo aplicando o limite temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 a t c t g   n = 1 π 2 = 2 π

Já que π > 2 logo :

2 π < 1

O que nos dá pelo teste da raiz uma série absolutamente convergente.

Resposta

Série absolutamente convergente.

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n
Os termos de uma serie são definidos recursivamente pelas equações: a 1 = 2a n + 1 = 5 n + 1 4 n + 3 a n Determine de ∑ a n converge ou diverge.
Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
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