Enunciado

Determine uma fórmula para a função inversa f - 1 e verifique se ( f ∘ f - 1 ) ( x ) = ( f - 1 ∘ f ) ( x ) = x .

f ( x ) = 100 1 + 2 - x

Passo 1

Então, gente, o que o enunciado pede é pra vocês acharem a inversa daquele f ( x ) ali. Como que acha a inversa? É só trocar o x   pelo y e isolar o y .

Depois vocês têm que fazer a composta da f com a inversa f - 1 que vocês acharam e ver se resulta em x . Depois disso, fazer o contrário: a composta de f - 1 com f e ver se dá x . Eu sei que dá medo, mas vem comigo que eu vou desmistificar isso aí!

Passo 2

Bora lá! Como eu disse no PASSO 1, pra achar a inversa de uma função, basta trocar o x com o y e isolar o y . Mas onde que tá nosso y ? Tá ali, no f ( x ) . Então, y = 100 1 + 2 - x , ok? Vamos trocar:

x   =   100 1   +   2 - y . Agora, vamos isolar o y . Passando o x   pro outro lado como divisão e o ( 1 + 2 - y ) pro outro, como multiplicação:

1 + 2 - y = 100 x .

Passando o 1 como subtração pro outro lado:

2 - y = 100 x - 1 .

Você se lembra que n - x = 1 n x , para qualquer n ≠ 0 ?

Vamos fazer isso ali, com o 2 - y , saca só:

1 2 y = 100 x - 1 , ok?

Agora vamos tirar o mmc do lado direito:

1 2 y = 100 - x x .

Passando 2 y pro lado direito e “ x ” e “ 100 - x ” pro lado esquerdo:

x 100 - x = 2 y .

Pra tirar esse y do expoente (que é a nossa incógnita) temos que usar o nosso queridíssimo logaritmo! Qual base? Vamos usar a base 2 pra fazer aquele 2 ali sumir, ok? Mas temos que usar o l o g dos dois lados, senão não vai dar certo.

l o g 2 ( x 100 - x ) = l o g 2 2 y .

Tem uma propriedade de logaritmo que diz que, se você tem um expoente dentro do l o g , você pode descer ele como multiplicação. Assim, ó: l o g 2 ( x 100 - x ) = y   l o g 2 2 .

Mas repara que l o g x x = 1 , para qualquer x ≠ 0 e x > 1 . Com isso:

f - 1 ( x ) = y = l o g 2 ( x 100 - x ) . Esse é o valor da nossa inversa.

Passo 3

Agora que temos a inversa, vamos ver se ( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   x .

f ( x )   =   100 1 + 2 - x e f - 1 ( x )   =   l o g 2 ( x 100   -   x ) .

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   100 1   +   2 - l o g 2 ( x 100   -   x ) , certo? Onde tem x em f ( x ) a gente colocou f - 1 ( x ) .

Agora, preciso te lembrar de uma propriedade de logaritmo:

a l o g a x   =   x . Tá vendo aquele 2 - l o g 2 ( x 100   -   x ) ?

A base do l o g é 2 e a base da potência também, então eu vou usar aquela propriedade. Mas tem uma coisa que atrapalha, que é aquele sinal de menos. Eu vou usar “a volta” da propriedade que desce o expoente e vou subir ele.

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   100 1   +   2 l o g 2 ( x 100   -   x ) - 1 e agora vou poder usar aquela propriedade.

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   100 1   +   ( x 100   -   x ) - 1   =   100 1   +   ( 100   -   x x )   =   100 x   +   100   -   x x   =   100 100 x . Reflete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda…

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   100   ⋅   x 100   =   x . Pronto, a primeira já foi!

Passo 4

Agora só falta ver se ( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   x , f - 1 ( x )   =   l o g 2 ( x 100   -   x ) e f ( x )   =   100 1 + 2 - x .

( f ∘ f - 1 ) ( x )   = l o g 2 ( ( 100 1   +   2 - x ) 100   -   ( 100 1   +   2 - x ) ) , porque onde tem x em f   - 1 a gente coloca f .

Pela propriedade de divisão no logaritmo:

l o g 2 ( ( 100 1   +   2 - x ) 100   -   ( 100 1   +   2 - x ) )   =   l o g 2 ( 100 1   +   2 - x )   -     l o g 2 ( 100   -   ( 100 1   +   2 - x ) )   =  

=   l o g 2 100   -   l o g 2 ( 1   +   2 - x )   -   l o g 2 ( 100 ( 1   +   2 - x )   -   100 1   +   2 - x )   =  

= l o g 2 100   -   l o g 2 ( 1   +   2 - x )   - ( l o g 2 ( 100 ( 1   +   2 - x )   -   100 )   -   l o g 2 ( 1   +   2 - x ) )   =    

= l o g 2 100   -   l o g 2 ( 1   +   2 - x )   - l o g 2 ( 100 ( 1   +   2 - x )   -   100 )   +   l o g 2 ( 1   +   2 - x )  

Cancelando os l o g 2 ( 1   +   2 - x ) :

( f   - 1 ∘   f ) ( x )   =   l o g 2 100   -   l o g 2 ( 100 ( 1   +   2 - x )   -   100 )   =

= l o g 2 100   -   l o g 2 ( 100 ( 1   +   2 - x   -   1 )   )   =    

=   l o g 2 100   -   l o g 2 ( 100 ⋅ 2 - x )   =  

=   l o g 2 100   -   ( l o g 2 100   +     l o g 2 2 - x )   =  

=   l o g 2 100   -     l o g 2 100   -     l o g 2 2 - x   =  

=   l o g 2 2 - x

Pela propriedade que desce o expoente:

- l o g 2 2 - x   =   - ( - x )   ⋅   l o g 2 2   = - ( - x ) = x , que é o que a gente queria.

Resposta

A fórmula é f   - 1 ( x )   =   l o g 2 ( x 100   -   x ) e a verificação deu verdadeira.

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