Enunciado

Determine se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.

h x = 4 x 2 - 5 2 x 3 + x

Passo 1

Da definição, sabemos que uma função par é uma que seja espelhada no eixo y , como uma parábola. E uma função ímpar é uma função também espelhada, porém invertida. A rigor podemos definir uma função par como uma função que satisfaz:

f x = f ( - x )

E uma função é dita ímpar se ela satisfaz:

f - x = - f ( x )

Se a função não satisfizer nenhuma das duas condições ela não é par nem ímpar! Vamos checar para cada caso para a função acima.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função é ímpar fazendo calculando cada uma das duas funções f - x e - f x .

A f ( - x ) fica:

f - x = 4 - x 2 - 5 2 - x 3 + - x

Corrigindo os sinais pra cada potência:

f - x = 4 x 2 - 5 - 2 x 3 - x

Passo 3

Agora fazendo - f x multiplicando os dois lados da equação por - 1 :

- f x = - 4 x 2 - 5 2 x 3 + x

As duas são iguais! Fica mais fácil de visualizar se enxergarmos a f ( - x ) assim:

f - x = 4 x 2 - 5 - 2 x 3 + x = - 4 x 2 - 5 2 x 3 + x = - f x

Mais ímpar que isso impossível!

Resposta

Ímpar

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