Enunciado

40. (a) Como se deve estender f, definida originalmente em 0 ,   L , de modo a se obter uma série de Fourier envolvendo apenas as funções cos ⁡ π x / 2 L , cos ⁡ 3 π x / 2 L , cos ⁡ 5 π x / 2 L , ? Veja os Problemas 38 e 39.

(b) Se f x = x para 0 ≤ x ≤ L , esboce a função para a qual essa série de Fourier converge para – 4 L ≤ x ≤ 4 L .

Passo 1

Fala Galera!!!

Nosso objetivo nessa questão é obter uma série de Fourier contendo apenas termos de cosseno, para isso, a extensão de f x deve ser uma função par. Também queremos obter uma série contendo apenas os termos

cos ⁡ 2 n - 1 π x 2 L                         n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Passo 2

Podemos observe que as funções cos ⁡ n π x 2 L ,   n = 1 ,   2 ,   3 ,   … são simétricas em relação a x = L . Portanto, temos o seguinte:

cos ⁡ n π 2 L - x 2 L = cos ⁡ 2 n π - n π x L = cos ⁡ - n π x L = cos ⁡ n π x L

Portanto, se f x for estendido para L ,   2 L como uma função antissimétrica em torno de x = L , isto é, f 2 L - x = - f x  para 0 ≤ x ≤ 2 L  , então

∫ 0 2 L f x cos ⁡ n π x L d x = 0

Isso decorre do fato de que a integral de uma função antissimétrica em torno de x = L . Portanto, agora podemos estender a função f x para obter

F x = f ( x ) - f 2 L - x                   0 ≤ x < L L < x < 2 L

Finalmente, podemos estender a função resultante para - 2 L ,   0 como uma função par e, em seguida, como uma função periódica de período 4 L . Assim, por construção, a série de Fourier conterá apenas termos de cosseno. Então, primeiro notamos que:

a 0 = 2 2 L ∫ 0 2 L F x d x = 1 L ∫ 0 L f x d x - 1 L ∫ L 2 L f 2 L - x d x

Para n > 0 , temos o seguinte:

a 0 = 2 2 L ∫ 0 2 L F x cos ⁡ n π x 2 L d x = 1 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x 2 L d x - 1 L ∫ L 2 L f 2 L - x cos ⁡ n π x 2 L d x

Para a segunda integral, seja u = 2 L - x . Então nós temos

cos ⁡ n π x 2 L = cos ⁡ n π 2 L + u 2 L = - 1 n cos ⁡ n π u 2 L

e, portanto, temos

∫ L 2 L f 2 L - x cos ⁡ n π x 2 L d x = - 1 n ∫ 0 L f u cos ⁡ n π u 2 L d u

Portanto, sabemos que

a n = 1 - - 1 n L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x 2 L d x

Segue-se imediatamente que a  n = 0 para n = 2 k , k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

a 2 k - 1 = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ 2 k - 1 π x 2 L d x

Assim, a representação da série de Fourier associada é a seguinte:

f x = ∑ n = 0 ∞ a 2 n - 1 cos ⁡ 2 n - 1 π x 2 L

Em que a série converge quase em toda parte em - 2 L ,   2 L e, portanto, em 0 ,   L

Passo 3

(b) Para a série encontrada acima em que f x = x para 0 ≤ x ≤ L , o gráfico da função para a qual essa série de Fourier converge para – 4 L ≤ x ≤ 4 L é o seguinte:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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