Enunciado

Em cada um dos problemas de 27 a 30, é dada uma função em um intervalo 0 < x < L .

(a) Esboce os gráficos da extensão periódica par g x e da extensão periódica ímpar h x da função dada, ambas com período 2 L , em um intervalo de três períodos.

(b) Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos da função dada.

(c) Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada série.

(d) Para cada série, investigue a dependência em n do erro máximo em 0 ,   L .

29.

f x = 4 x 2 - 4 x - 3 / 4 ,                   0 < x < 2

Passo 1

(a) Fala galera!!

Nos foi dado a seguinte função:

f x = 4 x 2 - 4 x - 3 / 4 ,                   0 < x < 2

Queremos esboçar os gráficos de uma extensão impar e de uma extensão par da função f ( x ) . Temos que Uma função f é considerada par quando  f - x = f x , qualquer que seja o valor de x   Є   D f . Temos também que uma função f é considerada ímpar quando  f - x = - f x , qualquer que seja o valor de x   Є   D f .

Passo 2

A função dada é definida para um período L de intervalo ( 0 ,   2 ) . Para a extensão par desta função, podemos definir uma função g x do período 2 L de intervalo ( - 2 ,   2 ) tal que:

g x = f - x , f x ,             - 2 < x < 0 0 < x < 2

Ou seja, para a função onde f x = 4 x 2 - 4 x - 3 / 4 , temos que:

f - x = 4 - x 2 - 4 - x - 3 / 4

f - x = 4 x 2 + 4 x - 3 / 4

Reescrevendo como uma função g x temos:

g x = 4 x 2 + 4 x - 3 / 4 , 4 x 2 - 4 x - 3 / 4 ,               - 2 < x < 0       0 < x < 2

Agora, podemos plotar o gráfico para um intervalo de 3 período da função g x que representa a extensão par da função f x . Assim temos:

Passo 3

A função dada é definida para um período L de intervalo ( 0 ,   2 ) . Com em uma função impar

f - x = - f x

Ou

f x = - f - x

Assim, para uma extensão impar desta função, podemos definir uma função h x do período 2 L de intervalo ( - 2 ,   2 ) tal que:

h x = - f - x , f x ,             - 2 < x < 0 0 < x < 2

Ou seja, para a função f x = 4 x 2 - 4 x - 3 / 4 , temos que:

- f - x = - 4 - x 2 - 4 - x - 3 / 4

= - 4 x 2 - 4 x + 3 / 4

Reescrevendo como uma função h x temos:

h x = - 4 x 2 - 4 x + 3 / 4 , 4 x 2 - 4 x - 3 / 4 ,               - 2 < x < 0 0 < x < 2

Agora, podemos plotar o gráfico para um intervalo de 3 período da função h x que representa a extensão impar da função f x . Assim temos:

Passo 4

(b) Queremos encontrar os coeficientes a n e b n para as series em cosseno e seno das extensões par e impar para um período 2 L da função f x . Então, vamos calcular o coeficiente a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Assim, temos que a extensão par g x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Passo 5

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 2 ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 2 4 x 2 - 4 x - 3 4 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 2 x 2 cos ⁡ n π x 2 d x - ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x - 3 4 ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x

Por integração por partes, temos o seguinte:

a n = 2 x 2 n π sen ⁡ n π x 2 + 8 x n 2 π 2 cos ⁡ n π x 2 - 16 n 3 π 3 sen ⁡ n π x 2 0 2 - 2 x n π sen ⁡ n π x 2 + 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 2 0 2 - 3 4 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 2

a n = 8 n π sen ⁡ n π + 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 16 n 3 π 3 sen ⁡ n π - 0 sen ⁡ 0 + 0 cos ⁡ 0 - 16 n 3 π 3 sen ⁡ 0 - 4 n π sen ⁡ n π + 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 0 sen ⁡ 0 + 4 n 2 π 2 cos ⁡ 0 - 3 4 2 n π sen ⁡ n π - 2 n π sen ⁡ 0

Temos que sen ⁡ n π sempre será 0 , temos também que sen ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 .

a n = 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 4 n 2 π 2

a n = 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π + 4 n 2 π 2

a n = 12 n 2 π 2 cos ⁡ n π + 4 n 2 π 2

a n = 4 n 2 π 2 3 cos ⁡ n π + 1

Temos também que cos ⁡ n π é igual a - 1 quando n é impar e é igual a 1 quando n é par. Assim, podemos rescrever da seguinte maneira:

a n = 4 3 - 1 n + 1 n 2 π 2

Passo 6

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 2 ∫ 0 2 f x d x

a 0 = ∫ 0 2 4 x 2 - 4 x - 3 4 d x

a 0 = ∫ 0 2 x 2 - x - 3 4 d x

a 0 = x 3 3 - x 2 2 - 3 x 4 0 2 = - 5 6

Passo 7

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 4, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

g x = - 5 12 + ∑ n = 1 ∞ 4 3 - 1 n + 1 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 2

Passo 8

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Assim, temos que a extensão impar h x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

h x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Passo 9

Então, temos que b n é o seguinte:

b n = 2 2 ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 2 4 x 2 - 4 x - 3 4 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 2 x 2 sen ⁡ n π x 2 d x - ∫ 0 2 x sen ⁡ n π x 2 d x - 3 4 ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = - 2 x 2 n π cos ⁡ n π x 2 + 8 x n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2 + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π x 2 0 2 - - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2 0 2 - 3 4 - 2 n π cos ⁡ n π x 2 0 2

b n = - 8 n π cos ⁡ n π + 16 n 2 π 2 sen ⁡ n π + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π - - 0 cos ⁡ 0 + 0 sen ⁡ 0 + 16 n 3 π 3 cos ⁡ 0 - - 4 n π cos ⁡ n π + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π - - 0 cos ⁡ 0 + 4 n 2 π 2 sen ⁡ 0 - 3 4 - 2 n π cos ⁡ n π - - 2 n π cos ⁡ 0

Temos que sen ⁡ n π sempre será 0 , temos também que sen ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 .

b n = - 8 n π cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π - 16 n 3 π 3 - - 4 n π cos ⁡ n π - 3 4 - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π

b n = - 8 n π cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π - 16 n 3 π 3 + 4 n π cos ⁡ n π + 3 2 n π cos ⁡ n π - 3 2 n π

b n = - 5 2 n π cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π - 16 n 3 π 3 - 3 2 n π

b n = 16 cos ⁡ n π - 1 n 3 π 3 - 5 cos ⁡ n π + 3 2 n π

Temos também que cos ⁡ n π é igual a - 1 quando n é impar e é igual a 1 quando n é par. Assim, podemos rescrever da seguinte maneira:

b n = 16 - 1 n - 1 n 3 π 3 - 5 - 1 n + 3 2 n π

b n = 1 2 32 - 1 n - 1 - n 2 π 2 5 - 1 n + 3 n 3 π 3

Passo 10

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 8, temos que a série de Fourier para uma extensão impar de f x é a seguinte:

h x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

h x = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 32 - 1 n - 1 - n 2 π 2 5 - 1 n + 3 n 3 π 3 sen ⁡ n π x 2

Resposta

g x = - 5 12 + ∑ n = 1 ∞ 4 3 - 1 n + 1 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 2

h x = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 32 - 1 n - 1 - n 2 π 2 5 - 1 n + 3 n 3 π 3 sen ⁡ n π x 2

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