Enunciado

Determine uma função y = f x que seja dada implicitamente pela equação

x y 2 + y + x = 1

Passo 1

Oi, galerinha! A grande sacada aqui é perceber que a nossa equação tem uma cara de equação do segundo grau em y :

x y 2 + y + x = 1

Reescrevendo ficamos com,

x y 2 + 1 y + x - 1 = 0

Ou seja, para uma equação do segundo grau

a y 2 + b y + c = 0

Teremos

a = x

b = 1

c = x - 1

Então vamos calcular Δ para determinar em qual intervalo de x , a equação dada será verdadeira.

Passo 2

Então, primeiro calculamos o discriminante Δ assim:

Δ = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 x x - 1

Δ = 1 - 4 x 2 + 4 x

Δ = - 4 x 2 + 4 x + 1

Lembre-se de que, para que haja solução em uma equação do segundo grau, devemos ter sempre Δ ≥ 0 , então:

- 4 x 2 + 4 x + 1 ≥ 0

Agora vamos resolver essa inequação para achar o intervalode x .

Passo 3

Para descobrir para quais valores de x essa inequação é verdadeira, primeiro resolvemos a equação do segundo grau correspondente:

- 4 x 2 + 4 x + 1 = 0

x = - 4 ± 4 2 - 4 - 4 1 2 - 4

x = 1 ± 2 2

Assim, fazendo um estudo de sinal da inequação inicial, obtemos:

1 - 2 2 ≤ x ≤ 1 + 2 2

Agora é só substituir na nossa equação inicial.

Passo 4

Finalmente vamos escrever a solução de:

x y 2 + 1 y + x - 1 = 0

já sabendo da condição 1 - 2 2 ≤ x ≤ 1 + 2 2 :

y = - b ± Δ 2 a = - 1 ± - 4 x 2 + 4 x + 1 2 x

Desse modo, temos que adicionar outra condição: x ≠ 0 , para concluir que as seguintes funções são dadas implicitamente pela equação do enunciado:

y = - 1 + - 4 x 2 + 4 x + 1 2 x                     o u                     y = - 1 - - 4 x 2 + 4 x + 1 2 x

Resposta

y = - 1 + - 4 x 2 + 4 x + 1 2 x                     o u                     y = - 1 - - 4 x 2 + 4 x + 1 2 x

com x ≠ 0 e 1 - 2 2 ≤ x ≤ 1 + 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma estudante alega que a elipse x 2 - x y + y 2 = 3 tem uma reta tangente horizontal no ponto ( 1,1 ) . Sem fazer contas, explique por que a alegação do estundante precisa estar errada.
Use diferenciação implícita para encontrar a derivada especificada. u + v = 5 , d u / d v
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se uma equação em x e y definir uma função y = f ( x ) implicitamente, então são idênticos os gráficos da equação e da função
Encontre todos os pontos da elipse x 2 - x y + y 2 = 1 nos quais a reta tangente é horizontal.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A função f ( x ) 1 - x 2 , 0x ≤ 1 - 1 - x 2 ,- 1 ≤ x ≤ 0