Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 ) i ^ + ( 2 x y z ) j ^ + ( x y 2 + 2 x 2 z ) k ^

C : x = t ,   y = t + 1 ,   z = t 2 ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Pessoal, nessa questão podemos usar o teorema das integrais de linha, que nos diz o seguinte: seja C uma curva definida por r t ,   a ≤ t ≤ b e f uma função diferenciável de tal maneira que o gradiente de f é contínua em todos os pontos de C . Desse modo

∫ a b ∇ f d x = f r b - f r a

Lá na letra (a), nós encontramos a função f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + C . Podemos escrever r ( t ) como:

r t = t , t + 1 , t 2

Como o valor de t varia de 0 a 1 , temos que

r 0 = 0,1 , 0

r 1 = 1,2 , 1

Assim, aplicando o teorema:

∫ C a F , d r = ∫ C a ∇ f d x = f 1,2 , 1 - f 0,1 , 0

∫ C a F , d r = 1 4 1 + ( 1 ) ( 1 ) + C - 0 1 0 + ( 0 ) ( 0 ) + C

∫ C a F , d r = 4 + 1 = 5

Resposta

A integral é igual a:

∫ C a F , d r = 5

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