Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y

C é um triângulo com os vértices em 0,0 , 1,0   e   ( 1,2 ) .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = ∬ ∂ ∂ x x 2 y 3 - ∂ ∂ y x y d A

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ 0 1 ∫ 0 2 x ( 2 x y 3 - x ) d y d x

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ 0 1 x y 4 2 - x y 0 2 x d x

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ 0 1 x 2 x 4 2 - x 2 x d x

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ 0 1 8 x 5 - 2 x 2   d x = 8 x 6 6 - 2 x 3 3 0 1

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = 4 3 - 2 3 = 2 3

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y = 2 3

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Calcule ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y =x 2 + y .3 x - y 2 e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y d x - x d y C é uma circunferência com centro na origem e r a i o = 4 .