Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y , z = y z i ^ + x z j ^ + ( x y + 2 z ) k ^

C é a o segmento de linha de ( 1,0 , - 2 ) para ( 4,6 , 3 ) .

Passo 1

Pessoal, nessa questão podemos usar o teorema das integrais de linha, que nos diz o seguinte: seja C uma curva definida por r t ,   a ≤ t ≤ b e f uma função diferenciável de tal maneira que o gradiente de f é contínua em todos os pontos de C . Desse modo

∫ a b ∇ f d x = f r b - f r a

Lá na letra (a), nós encontramos a função f x , y , z - x y z + z 2 + C . Aplicando o teorema das integrais de linha, temos:

∫ C a F , d r = ∫ C a ∇ f d x = f 4,6 , 3 - f 1,0 , - 2

∫ C a F , d r = 4 6 3 + 3 2 + C - 1 0 - 2 + - 2 2 + C

∫ C a F , d r = 72 + 9 - 4 = 77

Resposta

A integral é igual a:

∫ C a F , d r = 77

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6 ) Seja F =∇f , onde f( x ,yz )=x 2+y 2+z 2 . Desenhe F(x, y, z),com x 2+y 2+z 2=1 ,x0 ,y0ez0 .
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4 ) Seja F=∇f , onde f (x, y) = x + 2y. Desenhe F(x, y), com (x, y)na reta x + 2y = 1.