Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 18
Uma partícula começa na origem, se move ao longo do eixo para o ponto , em seguida ao longo do quarto da circunferência para o ponto , e então para baixo pelo eixo até a origem. Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho feito nessa partícula pelo campo vetorial
Passo 1
O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região do plano delimitada por .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples refere-se ao sentido antihorário de , percorrido só uma vez.
Se e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha , então
A curva e região são exibidas abaixo.
Passo 2
A primeira coisa que precisamos fazer para calcular o valor da integral de linha é saber as derivadas parciais de e . Isso é moleza!
Desse modo, podemos escrever nossa integral dupla como:
Vamos usar coordenadas polares para facilitar nossa vida.
Os diferenciais passam a ser e . Sempre que mudamos de coordenadas em integrais duplas, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação. Vamos fazer isso:
Portanto, esse termo será escrito ao lado do novo diferencial .
Passo 3
Resolvendo a integral, temos:
Resposta
O trabalho feito foi de .