Enunciado

Uma partícula começa na origem, se move ao longo do eixo x para o ponto ( 5,0 ) , em seguida ao longo do quarto da circunferência x 2 + y 2 = 25 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 para o ponto ( 0,5 ) , e então para baixo pelo eixo y até a origem. Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho feito nessa partícula pelo campo vetorial

F = x , y = s e n   x ,   s e n   y + x y 2 + 1 3 x 3

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer para calcular o valor da integral de linha é saber as derivadas parciais de P e Q . Isso é moleza!

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x   s e n   y + x y 2 + 1 3 x 3 = y 2 + x 2

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y s e n   x = 0

Desse modo, podemos escrever nossa integral dupla como:

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ y 2 + x 2 - 0   d A

Vamos usar coordenadas polares para facilitar nossa vida.

x = r   c o s θ ,     y = r   s e n θ

Os diferenciais passam a ser d r e d θ . Sempre que mudamos de coordenadas em integrais duplas, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação. Vamos fazer isso:

J = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ = cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ sen ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Portanto, esse termo r será escrito ao lado do novo diferencial d r d θ .

Passo 3

Resolvendo a integral, temos:

∬ y 2 + x 2 - 0   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 ( r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ ) r d r d θ

∬ y 2 + x 2 - 0   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 r 2 ( s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ ) r d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 r 2 ⋅ r   d r d θ

∬ y 2 + x 2 - 0   d A = ∫ 0 π 2 r 4 4 0 5 d θ

∬ y 2 + x 2 - 0   d A = ∫ 0 π 2 625 4 d θ = π 2 ⋅ 625 4 = 625 π 8

Resposta

O trabalho feito foi de 625 π 8 .

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(Teorema de Green para um círculo.) Seja B o círculo de centro na origem e raio r . Seja γ t = r cos ⁡ t , rs e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π . Suponha que P e Q sejam de classe C 1 num aberto Ω contendo B . Prove
Seja K o triangulo a seguir e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Sejam P ( x ,y ) e Q ( x ,y ) de classe C 1 num aberto contendo K .Prove que ∮ γ P d x + Q d y = ∫ ∫ K ∂ Q d x - ∂ P
Seja y = f ( x ) de classe C 1 em a , b e tal que f ' x0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f x ≤ y ≤ f a . Sejam P e Q de classe C 1 em um aberto contendo K . Prove que ∮ γ P d x + Q d y =
Seja y = f x de classe C 1 em [ a , b ] e tal que f ' x0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f a ≤ y ≤ f x . Sejam P e Q de classe C 1 num aberto contendo K . Prove que ∮ γ P d x + Q d y = ∬
Seja C uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma região do plano x y , de área A . Verifique que se a 1 ,a 2 ,a 3 , b 1 , b 2 ,b 3 são constantes reais, então ∮ a 1 x + a 2 y + a 3 d x