Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 4 1 x 2 - 2 x - 3   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente.

Note que x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) , de modo que

∫ 0 4 1 x 2 - 2 x - 3   d x = ∫ 0 4 1 ( x - 3 ) ( x + 1 )   d x

Note que dentro do intervalo de integração temos um ponto que anula o denominador: x = 3 , de modo que devemos fazer

∫ 0 4 1 ( x - 3 ) ( x + 1 )   d x = lim a → 3 - ⁡ ∫ 0 a 1 ( x - 3 ) ( x + 1 )   d x + lim b → 3 + ⁡ ∫ b 4 1 x - 3 x + 1   d x

Para que a integral seja convergente, ambos os limites devem existir!

Passo 2

Vamos calcular a primitiva usando frações parciais:

1 ( x - 3 ) ( x + 1 ) = A x - 3 + B x + 1

Assim,

A x + 1 + B x - 3 = 1 ⇒ A + B x + A - 3 B = 1

Desta forma, temos que A + B = 0 ⇒ A = - B e, além disso,

A - 3 B = 1 ⇒ A + 3 A = 1 ⇒ A = 1 4 ⇒ B = - 1 4

Portanto,

1 ( x - 3 ) ( x + 1 ) = 1 4 1 x - 3 - 1 x + 1

Assim,

∫ 1 ( x - 3 ) ( x + 1 )   d x = 1 4 ∫ 1 x - 3 - 1 x + 1 d x = 1 4 ln ⁡ x - 3 x + 1

Portanto,

∫ 0 a 1 ( x - 3 ) ( x + 1 )   d x = 1 4 ln ⁡ a - 3 a + 1 - 1 4 ln ⁡ 3

Passo 3

Quando tomamos o limite a → 3 - , temos que

ln ⁡ a - 3 a + 1 → ln ⁡ 0 → - ∞

Portanto, o limite

lim a → 3 - ⁡ ∫ 0 a 1 ( x - 3 ) ( x + 1 )   d x = - ∞

Como esse limite não existe, nem precisamos nos preocupar com o outro: a integral diverge!

Resposta

Diverge.

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