Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 4 ∞ 2 t 3 2 - 1     d t

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   2 t 3 2 - 1   (a função da integral) e g x = 2 t 3 2 . Então, iremos calcular:

lim t → ∞ ⁡ f x g x = l i m t → ∞   2 t 3 2 - 1     2 t 3 2 = l i m t → ∞ t 3 2 t 3 2 - 1   =   l i m t → ∞ t 3 2 t 3 2   = 1

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Passo 3

Vejamos a função g x :

∫ 4 ∞ 2 t 3 2   d t =   - 4 t 1 2 ]   ∞ 4 =   lim b → ∞ ⁡ - 4 t 1 2 ]   b 4 = l i m b → ∞ - 4 b 1 2 +   4 4 1 2 = 0 + 2 = 2

Então, g x converge. Logo f x também converge.

∫ 4 ∞ 2 t 3 2 - 1     d t converge.

Resposta

∫ 4 ∞ 2 t 3 2 - 1     d t converge.

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∫ 0 ∞x p l n ⁡ ( x ) d x Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .
A integral f x = 1 σ 2 πe - 1 2 x - μ σ 2 é chamada função densidade de probabilidade normal, com média μ e desvio padrão σ e tem aplicações importantes em probabilidade e estatística .Trace o gráfico
∫ 0 ex p l n ⁡ ( x ) d x Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .
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