Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 π / 2 tan ⁡ θ   d θ

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso temos a função tangente que não é definida para θ = π / 2 . Assim, devemos fazer

∫ 0 π / 2 tan ⁡ θ   d θ = lim t → π 2 - ⁡ ∫ 0 t tan ⁡ θ   d θ

Se esse limite existir então a integral será convergente, caso ele não seja finito então a integral será divergente.

Passo 2

Calculando a integral temos que

∫ 0 t tan ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ 0 t

Logo,

∫ 0 t tan ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ 0 = ln ⁡ sec ⁡ t - ln ⁡ 1 = ln ⁡ sec ⁡ t

Passo 3

Tomando o limite com t → π / 2 , temos que cos ⁡ t → 0 , de modo que sec ⁡ t → ∞ . Assim, temos que

lim t → π 2 ⁡ ln ⁡ sec ⁡ t = ∞

Como o limite não é finito, a integra diverge.

Resposta

Diverge.

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