Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 1 ∞ 1 e x - x     d x

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   1 e x - x   (a função da integral) e g x = 1 e x . Então, iremos calcular:

lim x → ∞ ⁡ f x g x = l i m x → ∞   1 e x - x     1 e x = l i m x → ∞ e x e x - x   = l i m x → ∞ e x e x ( 1 - x e x     =   l i m x → ∞ e x e x ( 1 - x e x     = l i m x → ∞ 1 ( 1 - x e x     = 1 1 - 0 = 1

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Passo 3

Vejamos a função g x :

∫ 1 ∞ 1 e x   d x =   - 2 e x 2 ] ∞ 1 =   lim b → ∞ ⁡ - 2 e x 2 ] b 1 =   l i m b → ∞ - 2 e b 2 + 2 e 1 2 = 0 + 2 e = 2 e  

Então, g x converge. Logo f ( x ) também converge.

∫ 1 ∞ 1 e x - x     d x converge.

Resposta

∫ 1 ∞ 1 e x - x     d x converge.

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