Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

g x = x - e x

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar g ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

g ' x = x - e x ' = 1 - e x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de y ' :

1 - e x = 0 → e x = 1 → e x = e 0 → x = 0

Temos que g ' x > 0 em:

- ∞ , 0

E em g ' x < 0 :

0 , + ∞

Assim:

g é estritamente crescente em - ∞ , 0

g é estritamente decrescente em 0 , + ∞

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x - e x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x - e x = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

g é estritamente crescente em - ∞ , 0

g é estritamente decrescente em 0 , + ∞

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Use a parte a) do Exercício 59 para mostrar que f x = x + s e nx é crescente no intervalo - ∞ ,+ ∞ .
53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.53. b) Se f e g forem crescentes em um intervalo, então f . g també
59. Use a Definição 4.1.1 para provar que:b) Se f for decrescente nos intervalos a ,c e c ,b , então f será decrescente em a ,b .
Use a parte b) do Exercício 59 para mostrar que f x = cos ⁡ x - x é decrescente no intervalo - ∞ ,+ ∞ .
55. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f - g tem a propriedade indicada.b) f - g é constante em - ∞ ,+ ∞ .