Enunciado

Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1   m 3 de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R $   10 o metro quadrado e na tampa material de R $   20 o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões da caixa cilíndrica que minimizm o custo do material. Pra isso, primeiro temos que entender como funciona a área do cilindro para saber quanto de material vamos gastar!

Assim, vamos usar a fórmula da área do cilindro:

A c i l i n d r o = A b a s e + A l a t e r a l + A t a m p a

Sendo h e r a altura e o raio do cilidro, respectivamente, a função custo f h ,   r será dada pelas áreas de cada parte do cilindro multiplicadadas pelo preço do material correspondente:

f h ,   r = 2 π r h 10 + π r 2 10 + π r 2 20

f h ,   r = 20 π r h + 30 π r 2

Porém, temos a informação do volume da caixa cilíndrica, V = 1   m 3 :

V = π r 2 h = 1

h = 1 π r 2

Então, o que nós vamos fazer é substituir h na fórmula do custo, para deixar a função apenas dependendo de r . Em seguida, vamos minimizar essa função, derivando e igualando o resultado a zero. Por fim, vamos substituir o valor de r que encontramos para achar o valor de h correspondente.

Vamos lá!

Passo 2

Para deixar a função apenas dependendo de r , vamos substituir h na fórmula do custo. Logo, a função custo ficará assim:

f r = 20 π r 1 π r 2 + 30 π r 2

f r = 20 r + 30 π r 2

Passo 3

Para achar a dimensão r que minimiza o custo, vamos buscar o mínimo global da função f r . E a gente faz isso derivando e igualando a 0 :

f ' r = - 20 r 2 + 60 π r

Igualando a zero:

- 20 r 2 + 60 π r = 0

Isolando r :

- 20 + 60 π r 3 = 0

r = 1 3 π 3

Passo 4

Agora substituímos o valor de r que encontramos para achar o valor de h correspondente:

h = 1 π r 2 = 1 π 1 3 π 3 2 = 9 π 2 π 3 3

h = 9 π 3

Então, as dimensões da caixa que minimizam o custo são r = 1 3 π 3 e h = 9 π 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r = 1 3 π 3 e h = 9 π 3

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