Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

g x = x 2 - x + 1 2 x - 1

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar g ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x h x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2

Vamos então aplicar:

g ' x = x 2 - x + 1 2 x - 1 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = x 2 - x + 1 ' 2 x - 1 - x 2 - x + 1 2 x - 1 ' 2 x - 1 2 = 2 x - 1 2 x - 2 - x 2 - x + 1 2 2 x - 2 2 = 4 x 2 - 4 x - 2 x + 2 - 2 x 2 + 2 x - 2 2 x - 2 2 = - 4 x + 2 x 2 2 x - 2 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

- 4 x + 2 x 2 = 0 → 2 x - 2 + x = 0

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as imagens que achamos no passo anterior:

Temos que g ' x > 0 em:

- ∞ , 0 e 2 , + ∞

E em g ' x < 0 temos um ponto de descontinuidade em 1 , assim:

0,1 e 1,2

Assim:

g é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 , + ∞

g é estritamente decrescente em 0,1 e 1,2

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x + 1 2 x - 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - x + 1 2 x - 1 = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

g é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 , + ∞

g é estritamente decrescente em 0,1 e 1,2

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