Enunciado

Determine o jacobiano da transformação.

x = alpha sen beta , y = alpha cos beta

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

(del (x , y))/(del (alpha , beta)) = |[[(del x)/(del alpha),(del x)/(del beta)],[(del y)/(del alpha),(del y)/(del beta)]]|

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que (del x)/(del alpha) é a derivada de x em função de alpha :

(del x)/(del alpha) = (del)/(del alpha) (alpha sen beta) = sen beta

E (del x)/(del beta) é a derivada de x em função de beta :

(del x)/(del beta) = (del)/(del beta) (alpha sen beta) = alpha cos beta

Temos que (del y)/(del alpha) é a derivada de y em função de alpha :

(del y)/(del alpha) = (del)/(del alpha) (alpha cos beta) = cos beta

E por ultimo (del y)/(del beta) é a derivada de y em função de beta :

(del y)/(del beta) = (del)/(del beta) (alpha cos beta) = - alpha sen beta

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

(del (x , y))/(del (alpha , beta)) = |[[(del x)/(del alpha),(del x)/(del beta)],[(del y)/(del alpha),(del y)/(del beta)]]| = |[[sen beta,alpha,cos beta],[cos beta,-,alpha,sen beta]]| = sen beta (- alpha sen beta) - alpha cos beta cos beta = - alpha sen^2 beta - alpha cos^2 beta = - alpha (sen^2 beta + cos^2 beta) = - alpha . 1 = - alpha

Resposta

(del (x , y))/(del (alpha , beta)) = |[[sen beta,alpha,cos beta],[cos beta,-,alpha,sen beta]]| = - alpha

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