Lista de Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis
Seja . Calcular o valor da integral
Ver solução completaConsidere a aplicação definida por:
Utilizando , calcule , onde é a imagem no plano da região no plano limitada pelas retas , e .
Ver solução completaCalcule onde é a região do primeiro quadrante do plano , limitada pelas curvas , , e .
Ver solução completaCalcule onde é a região do plano limitada pelas retas , , e .
Ver solução completaCalcule
Onde é o paralelogramo de vértices , , e .
Sugestão: faça uma mudança de variáveis conveniente.
Ver solução completaCalcule a integral dupla , onde é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações , , e .
Ver solução completaCalcule , onde é limitado por , , , .
Ver solução completaObs: o enunciado dessa questão foi alterado, com relação ao original disponibilizado pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade.
Calcule , sendo a região do plano limitada por:
Ver solução completaCalcule
Onde é o paralelogramo de vértices , , e .
Sugestão: faça uma mudança de variáveis conveniente.
Ver solução completaCalcule a integral dupla , onde é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações , , e .
Ver solução completaEncontre a área da figura plana limitada pela curva
Onde é uma constante positiva.
Ver solução completaSeja . Calcule
Ver solução completaSeja a região delimitada pelo quadrilátero com vértices , , e .
a) Esboce a região no plano .
b) Considere a transfomação e . Esboce a imagem da região através da tranformação no plano .
c) Calcule
Ver solução completaCalcule, efetuando uma mudança de variáveis conveniente, a integral
Onde é a região trapezoidal com vértices , , e .
Ver solução completaCalcule a seguinte integral
é a região do primeiro quadrante, limitada por , , e
Ver solução completaUse a mudança de coordenadas
para calcular a integral
Onde é o polígono de vértices e .
Ver solução completaO valor da integral
onde é o paralelogramo de vértices e é:
Escolha uma:
a)
b)
c)
d)
e)
Ver solução completaCalcule a integral dupla
Onde é a região, no primeiro quadrante, limitada pelas curvas , , , e .
Ver solução completaCalcule onde é a região no primeiro quadrante do plano limitada pelas curvas , , e
Ver solução completaSeja a região triangular do plano com vértices nos pontos e .
- Considere a mudança de variáveis e esboce a região do plano tal que
- Calcule o Jacobiano da mudança de variáveis
- Seja a função
Calcule a integral .
Ver solução completaCalcule a integral dupla
Onde é o trapezoide com vértices , , , .
Dica: Faça uma mudança de variáveis para simplificar o integrando.
Ver solução completaQuestão 2: Calcule a integral
Onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles , e pelas curvas , .
Sugestão: use coordenadas adequadas.
Ver solução completaQuestão 3: Seja a região e considere uma mudança de variáveis de em que satisfaça às equações
Seja a região do plano com coordenadas , tal que .
- Esboce as regiões e . Assinalem em seus esboços da região pontos , , e na fronteira das curvas que limitam a região e, no esboço da região , assinale suas imagens correspondentes , , e . Não é necessário calcular explicitamente as coordenadas dos pontos, embora possa ser desejável para verificar as contas.
- Escreva uma fórmula para , calcule a matriz Jacobiana e seu determinante.
- Use a mudança de variáveis para calcular
Calcule a integral
Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse . Use a mudança de variáveis e.
Ver solução completaSejam o paralelogramo de vértices e funções contínuas em . É corrento concluir que
no caso em que
Ver solução completaConsidere a região do plano
- Desenhe R hachurado. Desenhe ao lado a fronteira de R, denotada por Fr(R).
- Considere a integral dupla(i) Escreva usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeiro a y e em seguida com a respeito a x.Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de , apenas escrever a forma pedida.
- Calcule
- Considere
(ii) Escreva usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a x e em seguida em respeito a y.
Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de , apenas escrever a forma pedida.
Calcule o volume de .
Ver solução completaConsidere a integral
Onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas , , e .
Usando a mudança de variáveis com e , calcule .
Ver solução completaSeja o dominio do primeiro quadrante limitado pelas curvas planas cujas equações implícitas são:
a) Esboce a região
b) Descreva a região do primeiro quadrante do plano que corresponde a mediante a mudança de variáveis: