Lista de Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Seja D = { ( x , y ) ∈ R 2 ; x + y ≥ 0 ,   y ≤ 0 ,   x ≤ 1 } . Calcular o valor da integral

∬ D   x 3 x + y d A

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Considere a aplicação g definida por:

x = u + v

y = v - u 2

Utilizando g , calcule ∬ D   x - y + 1 4 - 1 2 d x d y , onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas retas u = 0 , v = 0 e u + v = 2 .

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Calcule ∬ D   ( 2 x + 1 ) d x d y onde D é a região do primeiro quadrante do plano x y , limitada pelas curvas y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .

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Calcule ∬ D   y + 2 x y - 2 x - 1 d x   d y onde D é a região do plano x y limitada pelas retas y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .

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Calcule

∫ ∫ R   y - 2 x 3 y + 2 x d A

Onde R é o paralelogramo de vértices ( 1,2 ) , ( 2,4 ) , ( 5,2 ) e ( 4,0 ) .

Sugestão: faça uma mudança de variáveis conveniente.

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Calcule a integral dupla ∬ D   2 x + y s e n ( x - 2 y ) d x d y , onde D é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações   2 x + y 2 - 2 y + x = - 3 , 2 x + y 2 - 2 y + x = 0 , 2 x + y = 1 e 2 x + y = 0 .

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Calcule

∬ B   x y 2 d x d y

Onde

B = { ( x , y ) ∈ R : 1 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ 2 x 2 }

Sugestão: considere a mudança de variáveis satisfazendo u = y x 2 e v = x y .

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Calcule

∬ R   y - 2 x 8 y + x 5 d x d y

Onde R é a região limitada pelas retas y = 2 x , y = 1 + 2 x , y = 1 - x e y = 3 - x .

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Calcule ∬ D   x y 2 s e n ( x y ) d x d y , onde D é limitado por x y = 1 , x y = 2 , x y 2 = 1 , x y 2 = 2 .

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Obs: o enunciado dessa questão foi alterado, com relação ao original disponibilizado pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade.

Calcule ∬ D   x + y - 1 x - y + 1 4 d x d y , sendo D a região do plano limitada por:

x + y - 1 = x - y + 1

x + y - 1 = 2 x - y + 1

x - y + 1 = 1

x - y + 1 = 2

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Calcule

∫ ∫ R   y - 2 x 3 y + 2 x d A

Onde R é o paralelogramo de vértices ( 1,2 ) , ( 2,4 ) , ( 5,2 ) e ( 4,0 ) .

Sugestão: faça uma mudança de variáveis conveniente.

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Calcule

∬ R   cos ⁡ y - x y + x d A

Em que R é a região trapezoidal com vértices ( 1,0 ) , ( 2,0 ) , ( 0,2 ) , ( 0,1 ) .

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Calcule a integral dupla ∬ D   2 x + y s e n ( x - 2 y ) d x d y , onde D é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações   2 x + y 2 - 2 y + x = - 3 , 2 x + y 2 - 2 y + x = 0 , 2 x + y = 1 e 2 x + y = 0 .

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Encontre a área da figura plana limitada pela curva

2 x 2 + y 2 - 2 x y = a 2

Onde a > 0 é uma constante positiva.

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Seja D : x , y ∈ R 2 : x + y ≤ 2 ,   x , y ≥ 0 . Calcule

∬ D   x + y 2 e ( x + y ) ( y - x ) d x d y

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Calcule

∬ D 3 x + 2 y 2 cos ⁡ 9 x 2 - 4 y 2 d x d y

Sendo D a região do plano limitada por 3 x + 2 y = 1 , 3 x + 2 y = 2 , x = 0 , y = 0 .

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Seja Q a região delimitada pelo quadrilátero com vértices 0,0 , 1,2 , 3 , - 1 e 4,1 .

a) Esboce a região Q no plano x y .

b) Considere a transfomação u x , y = 2 x - y e v x , y = x + 3 y . Esboce a imagem da região Q através da tranformação no plano u v .

c) Calcule

∬ Q x + 3 y e 2 x - y x + 3 y d A

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Calcule, efetuando uma mudança de variáveis conveniente, a integral

∫ ∫ R   cos ⁡ x - y sin ⁡ x + y   d A

Onde R é a região trapezoidal com vértices ( 1,0 ) , ( 2,0 ) , ( 0,2 ) e ( 0,1 ) .

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Calcule a seguinte integral

∬ D x 2 + y 2 d x d y

D é a região do primeiro quadrante, limitada por x 2 - y 2 = 1 , x 2 - y 2 = 9 , x y = 1 e x y = 3

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Use a mudança de coordenadas

x = 2 u + v + 1 ,     y = u + 3 v + 1

para calcular a integral

I = ∫ ∫ B e x - y d A ,

Onde R é o polígono de vértices 1,1 ,   3,2 , 4,5 e 2,4 .

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Calcule

∬ D cos ⁡ y - x x + y d A

Onde D é a região trapezoidal com vértices 1,0 , 2,0 , 0,2 e 0,1 .

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O valor da integral

∬ D x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2 d x d y

onde D é o paralelogramo de vértices 0,0 , π 4 , - π 4 ,   π 2 , 0 e π 4 , π 4 é:

Escolha uma:

a) π 2 32 s e n π 2 4

b) - π 4   s e n π 2 4

c) - π 2 16 1 - s e n π 2 4

d) π 4   s e n π 2 4

e) π 2 32 1 - s e n π 2 4

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Questão 1. Calcule a integral dupla

∬ D   4 x 2 + 4 x y   d A

onde

D = x ,   y ∈ R 2 : 0 ≤ y + x ≤ 3   ,   0 ≤ y - x ≤ 2 .

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Calcule

∫ 0 4 ∫ y 2 y 2 + 1 2 x - y 2 d x d y

Aplicando a transformação

u = 2 x - y 2

v = y 2

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Calcule a integral dupla

∬ R   y 4 - x 4 d x d y

Onde R é a região, no primeiro quadrante, limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 9 , y = x , e y = x + 1 .

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Calcule ∬ D x + y 2 x + 1 d x d y onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada pelas curvas y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2

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Seja B   a região triangular do plano u v com vértices nos pontos - 1 ,   1 ,   0 ,   0   e ( 0 ,   1 ) .

  1. Considere a mudança de variáveis T u ,   v = ( u - v ,   v 3 ) e esboce a região D do plano x y tal que T B = D
  2. Calcule o Jacobiano da mudança de variáveis
  3. Seja a função

f : D →   R

x ,   y ⟼ 3 π 2 4 x + y 3 2 ∙ sin ⁡ π 2 y

Calcule a integral ∬ D f x , y d x d y .

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Calcule a integral dupla

∬ D   x - y e x + y x - y d x d y ,

Onde D é o trapezoide com vértices 1 ,   0 , 2 ,   0 , 0 ,   - 2 , 0 ,   - 1 .

Dica: Faça uma mudança de variáveis para simplificar o integrando.

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1) A integral de f x ,   y = 5 / ( x 2 y )   na região definida por 2 < ln ⁡ x y < 3 e 1 < 1 / x < 2 é igual a

  1. 5
  2. 6
  3. - 6
  4. - 5
  5. 1

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1) A mudança de variáveis que tem como Jacobiano

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1 3

É:

  1. u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1
  2. x = u + v / 2   ,   y = u + v / 4
  3. u = y - x ,   v = y + x
  4. x = v / 3 + u ,   y = u + v
  5. u = y - x 2 ,   v = x + y

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Questão 2: Calcule a integral

∬ D   y x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles x 2 - y 2 = 1 , x 2 - y 2 = 4 e pelas curvas y / x = 0 , y / x = 1 / 2 .

Sugestão: use coordenadas adequadas.

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Questão 3: Seja a região D = x ,   y ∈ R 2   | e x 4 ≤ y ≤ e x ,   e - x ≤ y ≤ 4 e - x e considere uma mudança de variáveis T u ,   v = x u ,   v ,   y u ,   v de R 2 em R 2 que satisfaça às equações

u = e x v = y e x

Seja B a região do plano R 2 com coordenadas u , v tal que T B = D .

  1. Esboce as regiões D e B . Assinalem em seus esboços da região B pontos p 1 , p 2 , p 3 e p 4 na fronteira das curvas que limitam a região e, no esboço da região D , assinale suas imagens correspondentes T p 1 , T p 2 , T p 3 e T p 4 . Não é necessário calcular explicitamente as coordenadas dos pontos, embora possa ser desejável para verificar as contas.
  2. Escreva uma fórmula para T u ,   v , calcule a matriz Jacobiana D T e seu determinante.
  3. Use a mudança de variáveis T para calcular

∬ D   y 2 e 5 x   d x d y

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Calcule a integral

∬ R s e n 9 x 2 + 4 y 2 d A

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1 . Use a mudança de variáveis u = 3 x   e   v = 2 y .

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Sejam P o paralelogramo de vértices ( 0,0 ) ,   ( 1 , - 1 ) ,   ( 4,2 )   e   ( 3,3 ) ,   f   e g funções contínuas em R . É corrento concluir que

∬ P f x - y g x + y d x   d y =   ∫ 0 6 ∫ c d f u g v   K   d u   d v

no caso em que c = ? ,   d = ? e   K = ?

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Considere a região do plano

R = x , y ∈ R 2 0 ≤ y ≤ s e n 3 x ,   0 ≤ x ≤ π / 2 } .  

  1. Desenhe R hachurado. Desenhe ao lado a fronteira de R, denotada por Fr(R).
  2. Considere a integral dupla I = ∬ R e y se n 2 x cos ⁡ x d x d y (i) Escreva I usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeiro a y e em seguida com a respeito a x.Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de I , apenas escrever a forma pedida.
  3. (ii) Escreva I usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a x e em seguida em respeito a y.

    Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de I , apenas escrever a forma pedida.

  4. Calcule I .
  5. Considere

U = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ z ≤ e y s e n 2 x cos ⁡ x ,   0 ≤ y ≤ s e n 3 x ,   0 ≤ x ≤ π 2

Calcule o volume de U .

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Considere a integral

∬ D   ( x - y ) d x d y

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = - 2 x + 4 , y = - 2 x + 7 , y = x - 2 e y = x + 1 .

Usando a mudança de variáveis T u , v = x u , v , y ( u , v ) com u = x - y e v = 2 x + y , calcule I .

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Seja D ⊂ R 2 o dominio do primeiro quadrante limitado pelas curvas planas cujas equações implícitas são: y = 0 ,   x = 1 - y 2 ,   x = 4 1 - y 2 .

a) Esboce a região D

b) Descreva a região do primeiro quadrante do plano u v que corresponde a D mediante a mudança de variáveis: T u ,   v = v 1 - u 2   ,   u ,   u ,   v ≥ 0 .