Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E z d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos lembrar a forma das coordenadas esféricas:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Temos então que:

1 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Pronto, agora é só substituir:

∭ E z d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 3 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ

Passo 3

Vamos resolver as três separadamente:

Com a primeira vamos fazer uma Substituição.

u = sen ⁡ ϕ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ = ∫ 0 1 u d u = u 2 2 0 1 = 1 2 2 - 0 2 2 = 1 2

Passo 4

Com a segunda:

∫ 0 π 2 d θ = θ 0 π 2 = π 2 - 0 = π 2

E por ultimo com a terceira:

∫ 1 2 ρ 3 d ρ = ρ 4 4 1 2 = 2 4 4 - 1 4 4 = 15 4

Passo 5

Pronto, agora é só juntar:

∭ E z d V = ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ = 1 2 . π 2 . 15 4 = 15 π 16

Resposta

∭ E z d V = 15 π 16

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