Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = x 3 - 225 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha?

Bom... a questão quer que determinemos uma janela retangular apropriada para a seguinte função:

f x = x 3 - 225 x

Bom... uma janela apropriada é aquela que dá pra gente obter as principais características de um gráfico, como pontos de máximo e mínimo, bem como os zeros da função.

Assim, a gente pode começar procurando os pontos de máximos e mínimos dessa função e, em seguida, analisamos seus zeros.

A partir daí podemos definir uma janela x y que englobe todos esses detalhes.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Então... vamos primeiro determinar os zeros da função:

Pra isso fazemos f x = 0

x 3 - 225 x = 0

x x 2 - 225 = 0 ∴

x = 0

Portanto x = 0 é uma das opções...

Continuando os cálculos...

x 2 - 225 = 0

x = ± 15

Com isso vemos que x = 0 , x = 15 e x = - 15 são os zeros da função, então nossa janela tem que englobar esse intervalo.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Derivando a equação pelo método de derivação polinomial e igualando a zero, podemos encontrar os pontos de máximo e mínimo:

y = x 3 - 225 x → y ' = 3 x 3 - 1 - 225 x 1 - 1

y ' = 3 x 2 - 225 = 0

x 2 = 225 3

Como x 2 pode ser tanto positivo quanto negativo, temos

x 1 = 8,66

x 2 = - 8,66

Calculando os valores de y correspondentes, podemos determinar qual desses pontos corresponde ao ponto de máximo e qual corresponde ao ponto de mínimo.

f 8,66 = 8,66 3 - 225 8,66 = - 1299,04

f - 8,66 = - 8,66 3 - 225 - 8,66 = 1299,04

Portanto, x = 8,66 é um mínimo local em y = - 1299,04 e x = - 8,66 é um máximo local em y = 1299,04

Dessa forma, a nossa janela precisa incluir esses pontos.

Assim, podemos concluir que uma janela retangular apropriada para a função é x = - 20   ,   20 por y = - 3000 ,   3000

Show?

Passo 4

Agora vamos condensar as informações que encontramos até aqui para esboçar o gráfico da função.

Vimos que a função possui três zeros... uma em x = - 15 , outra em x = 0 e a última em x = 15 .

Além disso vimos que - 8,66 ; 1299,04 e 8,66 ; - 1299,04 são os pontos de máximo e mínimo respectivamente e precisam estar na nossa janela.

Além disso, analisando a função

y = x 3 - 225 x

Vemos que y aumenta conforme x cresce e y diminui conforme x diminui, logo, y tende a se x tende a e tambem y tende a - ∞ se x tende a - ∞ .

Entendeu direitinho? Responde Aí! ;)

Resposta

- 20   ,   20 por - 3000 ,   3000

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Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta. f x = 4 + 3 x - x 2 . f 3 + h - f ( 3 ) h
Suponha que seja dado o gráfico de f. Escreva as equações para os gráficos obtidos a partir do gráfico de f da seguinte forma:(a) Desloque 3 unidades para cima.(b) Desloque 3 unidades para baixo.(c) D
Dado o gráfico de y = f x , associe cada equação com seu gráfico e justifique suas escolhas. y = f x - 4 ; y = f x + 3 ; y = 1 3 f x ; y = - f x + 4 ; y = 2 f x + 6 .
O gráfico de f é dado. Esboce os gráficos das seguintes funções: y = f ( 2 x ) y = f x 2 y = f ( - x ) y = - f ( - x )
O gráfico de y = 3 x - x ² ² é dado. Use transformações para criar a função cujo gráfico é mostrado.